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Arbres <strong>par</strong>ticuliers ◮ Arbre avec racine : ◮ Un arbre avec racine est un arbre dans lequel un sommet est identifié comme étant la racine. ◮ Soit u—v une arête d’un arbre avec racine telle que u est plus proche de la racine que v. Le sommet u est le père de v, et le sommet v est le fils de u. ◮ Exemple : F E B Si A est la racine, alors E et F sont les fils de B, et A est le père de B, de C et de D. A C D 244
◮ Un arbre binaire est un arbre avec racine dans lequel tout sommet a au plus 2 fils. ◮ Un arbre binaire est ordonné si les fils d’un sommet sont distingués : on les appelle fils à gauche et fils à droite. 245
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Invariant inductif ◮ Définition
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Substitution La fonction subst(f ,
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Sémantique Essentiellement deux ty
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Expressions arithmétiques Idée g
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme et normalisation Corr
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Sémantique opérationnelle : assig
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Illustration Si on note l’état d
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Formulation analytique Par symétri
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s worthwhile to use your computer t
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Multiplication par une constante Pr
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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◮ Fonction génératrice pour le
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