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Récurrence générale “diviser-pour-régner” Définition : Un récurrence “diviser-pour-régner” est une récurrence de la forme : k Tn = aiT (bjn) + g(n), i=1 où a1, . . . , ak sont des constantes positives, b1, . . . , bk sont des constantes comprises entre 0 et 1 et g(n) est une fonction non négative. Exemple : k = 1, a1 = 2, b1 = 1/2 et g(n) = n − 1 correspond au tri <strong>par</strong> fusion Sous certaines conditions, il est possible de trouver des bornes asymptotiques sur les récurrences de ce type. 386
Un premier théorème Théorème (Master theorem) : Soient deux constantes a ≥ 1 et b > 1 et une fonction f (n) = O(n d ) avec d ≥ 0. La complexité asymptotique de la récurrence suivante : T (n) = aT (n/b) + f (n) est : ⎧ ⎪⎨ T (n) = ⎪⎩ (Introduction to algorithms, Cormen et al.) O(n d ) pour d > log b a O(n d log n) pour d = log b a; O(n log b a ) pour d < log b a. NB : les bornes sont valables quelles que soient les conditions initiales. 387
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Autres types de proposition ◮ Un
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Une preuve sans mot Théorème de P
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Modélisation par une machine d’
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Démonstration : Par induction stru
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Définitions mal formées Des probl
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Substitution La fonction subst(f ,
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Expressions arithmétiques Idée g
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Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
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Un langage de programmation simple
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Synthèse de la sémantique opérat
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Illustration Si on note l’état d
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
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Coloriage de graphes Problème : l
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Tout graphe biparti peut donc être
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⇐ ◮ Supposons que la condition
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Un énoncé formel Définition : So
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Problème des mariages stables Déf
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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