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Les deux règles suivantes sont donc des règles d’inférence. P ⇒ Q ¬Q ⇒ ¬P ¬Q ⇒ ¬P P ⇒ Q. 16
Schémas de preuves classiques Quelques schémas de preuves classiques : ◮ Implication ◮ Equivalence (si et seulement si) ◮ Preuve par cas ◮ Preuve par contradiction (ou par l’absurde) ◮ Principe du bon ordre ◮ Induction faible ◮ Induction forte ◮ Principe d’invariant Une preuve complexe requière la plupart du temps la combinaison de plusieurs de ces techniques 17
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Invariant inductif ◮ Définition
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Invariant difficile à trouver Que
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Définitions mal formées Des probl
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Substitution La fonction subst(f ,
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Modèle d’évaluation avec substi
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Sémantique Essentiellement deux ty
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Expressions arithmétiques Idée g
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
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Un langage de programmation simple
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Sémantique opérationnelle : état
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucle infinie Théorème : Pour au
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Effets de bord Dans notre langage,
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Sémantique dénotationnelle Rappel
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Exemple Montrez que evalCom(x := 0;
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Sémantique du while En conséquenc
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Si evalCom(Cn+1, s) = s ′ , il y
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Au delà de cours Syntaxe : ◮ Les
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Remarques à propos de la démonstr
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Congestion Définition : ◮ La con
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Un second théorème plus général
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Multiplication par une constante Pr
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Formule de Newton généralisée So
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◮ Fonction génératrice pour le
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