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Application 1 : chaîne de caractères
On cherche à déterminer le nombre de séquences de N bits qui
contiennent exactement k 1, que nous noterons bN,k. Soit BN l’ensemble
des séquences de bits de longueur N et définissons la “taille” |b| d’un
élément b ∈ BN par le nombre de 1 dans b.
Soit la fonction génératrice BN(x) = ∞ k=0 bN,kx k . Etant donné qu’une
séquence de N bits (N > 1) commence soit par 0, soit par 1, on a :
BN(x) =
x |b|
=
Puisque B1(x) = 1 + x, on a :
b∈BN
b∈BN−1
dont on déduit (voir transp. 415) :
x |b| +
= (1 + x)BN−1(x)
BN(x) = (1 + x) N ,
bN,k = C k N
b∈BN−1
x 1+|b|
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