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Composantes connexes Définition : Soit G = (V , E) un graphe. Une composante connexe de G est un sous-graphe connexe maximal, c’est-à-dire un sous-graphe connexe tel que l’ajout de tout sommet supplémentaire rend le sous-graphe non connexe. Exemple : Ce graphe contient 2 composantes connexes. 232
Théorème : Tout graphe G = (V , E) contient au moins |V | − |E| composantes connexes. Démonstration : ◮ La démonstration fonctionne <strong>par</strong> induction sur le nombre d’arêtes. ◮ Soit P(n) = “Tout graphe G = (V , E) avec |E| = n contient au moins |V | − n composantes connexes”. ◮ Cas de base : Dans un graphe sans arête, tout sommet est une composante connexe. Il y en a donc exactement |V |. ◮ Cas inductif : ◮ Supposons que, pour un n ∈ N, tout graphe contenant n arêtes possède au moins |V | − n composantes connexes. ◮ Soit G = (V , E) un graphe contenant n + 1 arêtes. 233
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Invariant inductif ◮ Définition
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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Définitions mal formées Des probl
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Substitution La fonction subst(f ,
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Déterminisme et normalisation Corr
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“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Classes combinatoires Problème gé
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