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Sémantique dénotationnelle Exemples : ◮ evalCom(x := 0, s) = s[x ↦→ 0] ◮ evalExp(x + 3, s) = s(x) + 3 si s(x) est défini, ⊥ sinon. Quels sont les domaines sémantiques associés ? ◮ Com : l’ensemble des fonctions totales de Σ vers Σ⊥ ◮ Exp : l’ensemble des fonctions totales de Σ vers N⊥ ◮ Bool : l’ensemble des fonctions totales de Σ vers {true, false, ⊥} En effet, on a : Com × Σ → Σ⊥ = Com → (Σ → Σ⊥) Exp × Σ → N⊥ = Exp → (Σ → N⊥) Bool × Σ → {true, false, ⊥} = Bool → (Σ → {true, false, ⊥}) 194
Expressions et booléens Les fonctions evalExp et evalBool sont définies (récursivement) comme les fonctions eval aux <strong>trans<strong>par</strong>ent</strong>s 140 et 157. Seules modifications : ◮ Recherche de la valeur d’une variable : s(x) si s(x) est défini evalExp(x, s) = ⊥ sinon ◮ Il faut faire remonter le ⊥ : j evalexp(E1) + evalexp(E2) si evalexp(E1) et evalexp(E2) = ⊥ evalExp(E1 + E2, s) = ⊥ sinon (Exercice : définissez complètement evalExp et evalBool.) 195
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- On obtient : s. total = score du
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Un second théorème plus général
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Résolution de récurrences Princip
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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