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Récurrences linéaires Définition : Une récurrence linéaire homogène est une récurrence de la forme f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + · · · + akf (n − k) où a1, a2, . . . , ak ∈ R sont des constantes. La valeur k ∈ N0 est appelée l’ordre de la récurrence. Définition : Une récurrence linéaire (générale) est une récurrence de la forme f (n) = a1f (n − 1) + a2f (n − 2) + · · · + akf (n − k) + g(n), où g est une fonction ne dépendant pas de f . 372
Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont solutions d’une récurrence linéaire homogène (sans tenir compte des conditions initiales), alors toute combinaison linéaire c1f1(n) + c2f2(n) de f1(n) et f2(n) est également une solution pour tout c1, c2 ∈ R. Démonstration : On a f1(n) = k aif1(n − i) et f2(n) = i=1 k aif2(n − i). Dès lors, c1f1(n) + c2f2(n) = k k c1 · aif1(n − i) + c2 · aif2(n − i) = i=1 i=1 k ai(c1f1(n − i) + c2f2(n − i)). i=1 i=1 373
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