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Sémantique opérationnelle : while Une première version incorrecte : Une version correcte : 〈B, s〉 → 〈B ′ , s ′ 〉 〈while B do C, s〉 → 〈while B ′ do C, s ′ 〉 〈while false do C, s〉 → 〈skip, s〉 〈while true do C, s〉 → ? 〈while B do C, s〉 → 〈if B then(C; while B do C) else skip, s〉 (W-WHILE) (On recopie la boucle while à l’intérieur d’une condition) 182
Synthèse de la sémantique opérationnelle 〈x, s〉 → 〈n, s〉 (W-EXP.NUM) 〈(n1 + n2), s〉 → 〈n3, s〉 (W-EXP.ADD) 〈E1, s〉 → 〈E ′ 1 , s′ 〉 〈(E1 + E2), s〉 → 〈(E ′ 1 + E2, s ′ 〉 (W-EXP.LEFT) 〈E, s〉 → 〈E ′ , s ′ 〉 〈x := E, s〉 → 〈x := E ′ , s ′ 〉 (W-ASS.EXP) 〈x := n, s〉 → 〈skip, s[x ↦→ n]〉 (W-ASS.NUM) 〈C1, s〉 → 〈C ′ 1 , s′ 〉 〈C1; C2, s〉 → 〈C ′ 1 ; C2, s ′ 〉 (W-SEQ.LEFT) 〈skip; C2, s〉 → 〈C2, s〉 (W-SEQ.SKIP) 〈B, s〉 → 〈B ′ , s ′ 〉 〈if B then C1 else C2, s〉 → 〈if B ′ then C1 else C2, s ′ 〉 (W-COND.B) 〈if true then C1 else C2, s〉 → 〈C1, s〉 (W-COND.TRUE) 〈if false then C1 else C2, s〉 → 〈C2, s〉 (W-COND.FALSE) 〈while B do C, s〉 → 〈if B then(C; while B do C) else skip, s〉 (W-WHILE) 183
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Partie 1 Techniques de preuves et a
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Plan 1. Définitions 2. Techniques
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Propositions Définition : Une prop
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Prédicats Définition : Une propos
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Découpage + glissement de 2 unité
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Variables dérivées et terminaison
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Démonstration : ◮ Soit la variab
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Invariant difficile à trouver Que
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Exemples d’exécutions Source : a
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Problème de l’arrêt Théorème
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Résumé ◮ Une machine d’état
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Modélisation par une machine d’
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Ambiguité d’une définition réc
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Théorème : Tout graphe G = (V , E
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Remarques à propos de la démonstr
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Théorème : Soit T = (V , E) un ar
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Théorème : Tout graphe connexe G
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◮ Un arbre binaire est un arbre a
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Définition : Le diamètre d’un g
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Théorème : Soit v un sommet arbit
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Coloriage de graphes Problème : l
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Associons une couleur à chaque pla
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k-coloriages Définition : Un graph
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◮ Cas inductif : Supposons que P(
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Tout graphe biparti peut donc être
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Définition : L’ensemble des gar
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Un énoncé formel Définition : So
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Problème des mariages stables Déf
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Congestion Définition : ◮ La con
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Tableau à deux dimensions Réseau
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“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
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10.9. Beneˇs Network 337 Exemple p
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Chaque nœud de G est incident à e
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Exemple introductif : quicksort Par
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Quicksort Partition(A, lo, hi) 1 i
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Formulation analytique Par symétri
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s worthwhile to use your computer t
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Trouver une solution analytique Si
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Un autre exemple Problème 6 : Dér
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Plan 1. Définitions et opérations
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Classes combinatoires Problème gé
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Application 2 : nombre d’arbres b
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Démonstration : 1. Soit an et bn l
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Applications : choix avec répétit
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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