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Réseaux de communication On souhaite envoyer des paquets sur un réseau informatique entre des nœuds d’entrée et des nœuds de sortie (ordinateurs, téléphones, etc.) connectés entre eux par des commutateurs (“switches”) chargés de dispatcher les paquets sur le réseau. “mcs” — 2012/6/4 — 15:49 — page 326 — #334 Le réseau peut être représenté par un graphe dirigé. 326 Chapter 10 Communication Networks IN OUT IN OUT IN OUT IN OUT 0 0 1 1 2 2 3 3 assume N is a power of two. Which input is supposed to go where is specified by a permutation of f0; 1; : : : ; N 274
Réseaux de communications Hypothèses de travail : ◮ Les paquets transmis entre nœuds sont de taille constante ◮ La transmission d’un paquet sur un lien se fait en un temps constant, indépendant du lien ◮ Il y a exactement autant de nœuds d’entrée que de nœuds de sortie et chaque nœud d’entrée cherche à transmettre un paquet à un nœud de sortie distinct. ◮ Le nombre de nœuds est une puissance exacte de 2. Objectif : on cherche à mettre au point un réseau de manière à minimiser : ◮ Le nombre de commutateurs et leur taille (nombre d’entrées et de sorties) ◮ Le diamètre du réseau ◮ Les congestions (le nombre de paquets passant par un même commutateur 275
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Partie 1 Techniques de preuves et a
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Plan 1. Définitions 2. Techniques
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Propositions Définition : Une prop
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Prédicats Définition : Une propos
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Une preuve sans mot Théorème de P
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Plan 1. Machine d’état 2. Princi
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Théorème : La somme des coordonn
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Le problème des cruches Soient deu
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Exercices Montrez par induction for
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Variables dérivées et terminaison
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Démonstration : ◮ Soit la variab
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Invariant difficile à trouver Que
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Exemples d’exécutions Source : a
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Problème de l’arrêt Théorème
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Résumé ◮ Une machine d’état
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Plan 1. Définitions récursives 2.
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Chaîne de caractères Définition
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Induction structurelle Le schéma d
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Un exemple (un peu) plus compliqué
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Modélisation par une machine d’
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Ambiguité d’une définition réc
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Arbres On peut définir récursivem
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Démonstration : Par induction stru
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Fonctions récursives sur les entie
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Définitions mal formées Des probl
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Expressions arithmétiques Définit
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Substitution La fonction subst(f ,
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Modèle d’évaluation avec substi
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Par la définition de subst, le mem
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Applications Les applications de ce
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Sémantique formelle Pourquoi défi
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Expressions arithmétiques sur N :
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Sémantique Essentiellement deux ty
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Exemple : expressions arithmétique
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Expressions arithmétiques Idée g
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Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
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Déterminisme et normalisation Prop
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
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Plan 1. Introduction 2. Langage des
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Un langage de programmation simple
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Sémantique opérationnelle : état
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Synthèse de la sémantique opérat
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Illustration Si on note l’état d
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucle infinie Théorème : Pour au
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Effets de bord Dans notre langage,
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Sémantique dénotationnelle Rappel
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Expressions et booléens Les foncti
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Exemple Montrez que evalCom(x := 0;
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Sémantique du while Définition :
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Sémantique du while En conséquenc
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Si evalCom(Cn+1, s) = s ′ , il y
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Au delà de cours Syntaxe : ◮ Les
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Plan 1. Définitions 2. Connexité
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Exemple : ◮ V = {A, B, C, D, E, F
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Exemple : A C B ◮ A et B sont adj
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Extensions des graphes Multigraphes
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Applications Les graphes peuvent ê
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Plan 1. Sommations Définitions Pre
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Propriété : On a x 2 = O(x). Dém
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Exemples : ◮ 〈0, 0, 0, 0, . . .
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Plan 1. Définitions et opérations
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Classes combinatoires Problème gé
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Application 2 : nombre d’arbres b
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Démonstration : 1. Soit an et bn l
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Applications : choix avec répétit
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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