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Normalisation Théorème : Pour tout E, il existe un n tel que E → ∗ n. Démonstation : La démonstration fonctionne <strong>par</strong> induction structurelle sur E. Cas de base : E = n. On a trivialement n → ∗ n. Cas inductif : E = (E1 + E2). Par hypothèse inductive, il existe n1 et n2 tels que E1 → ∗ n1 et E2 → ∗ n2. Pour chaque étape de la dérivation : E1 → E ′ 1 → E ′′ 1 . . . → n1, appliquer la régle de réduction de l’argument de gauche donne : (E1 + E2) → (E ′ 1 + E2) → (E ′′ 1 + E2) . . . → (n1 + E2). En appliquant ensuite la règle de réduction de l’argument de droite, on peut déduire : (n1 + E2) → ∗ (n1 + n2) → n3, où n3 = n1 + n2. D’où (E1 + E2) → ∗ n3. 168
Déterminisme et normalisation Corrolaire : Pour tout expression E, il y a exactement un n tel que E → ∗ n. Démonstration : C’est une conséquence directe des théorèmes précédents. 169
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un second théorème plus général
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Multiplication par une constante Pr
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Classes combinatoires Problème gé
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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