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Graphes dirigés : ◮ Les arêtes sont des paires ordonnées de sommets. ◮ Une arête <strong>par</strong>tant du sommet A et allant au sommet B est dénotée A −→ B. ◮ Le degré intérieur d’un sommet est le nombre d’arêtes arrivant à ce sommet. ◮ Le degré extérieur d’un sommet est le nombre d’arêtes sortant de ce sommet. A C Le degré intérieur de D est 1 ; son degré extérieur est 2. B D E 214
Boucles : On peut autoriser qu’un graphe contienne des boucles, c’est-à-dire qu’une arête ait pour extrémités le même sommet. 215
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Propositions Définition : Une prop
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Autres types de proposition ◮ Un
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Plan 1. Machine d’état 2. Princi
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Le problème des cruches Soient deu
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Correction de programmes Un program
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Exponentiation : correction partiel
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Interprétation La preuve précéde
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Variables dérivées et terminaison
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Invariant difficile à trouver Que
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Résumé ◮ Une machine d’état
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Ambiguité d’une définition réc
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Fonctions récursives sur les entie
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Définitions mal formées Des probl
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Substitution La fonction subst(f ,
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Modèle d’évaluation avec substi
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Sémantique formelle Pourquoi défi
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Sémantique Essentiellement deux ty
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Exemple : expressions arithmétique
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Expressions arithmétiques Idée g
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Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Diamètre 326 “mcs” — 2012/6/
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Congestion Définition : ◮ La con
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“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
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Partie 3 Outils pour l’analyse d
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Quicksort Partition(A, lo, hi) 1 i
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Formulation analytique Par symétri
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Démonstration : Par induction sur
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Nombres de Catalan Les nombres : b0
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Calculer les valeurs d’une récur
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Etape 5 : Déterminer les valeurs d
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Un premier théorème Théorème (M
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Multiplication par une constante Pr
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Récurrences linéaires (homogènes
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Classes combinatoires Problème gé
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