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Un autre exemple Théorème : Tout nombre entier positif plus grand que 1 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers Démonstration : ◮ La preuve utilise le principe du bon ordre. ◮ Soit C l’ensemble des entiers supérieurs à 1 qui ne peuvent pas être factorisés comme un produit de premiers. Supposons que C soit non vide et montrons que nous arrivons à une contradiction. ◮ Soit n le plus petit élément de C, <strong>par</strong> le principe du bon ordre. n ne peut pas être premier, car un premier est un produit de premiers (de taille 1) et donc n serait alors dans C. ◮ n est donc le produit de deux entiers a et b tels que 1 < a, b < n. 38
◮ Puisque a et b sont plus petits que n, ils ne peuvent pas ap<strong>par</strong>tenir à C et donc a peut s’écrire comme un produit de premiers p1p2 . . . pk et b comme un produit de premiers q1q2 . . . ql. ◮ En conséquence, n = p1 . . . pkq1 . . . ql peut s’écrire comme un produit de premiers, ce qui contredit n ∈ C. 39
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