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Autres exemples Nombres de Fibonacci : ◮ F0 ::= 0, ◮ F1 ::= 1, ◮ Fi ::= Fi−1 + Fi−2 pour i ≥ 2. Notation : ◮ 0 i=1 f (i) ::= 0, ◮ n+1 i=1 ::= n i=1 f (i) + f (n + 1), pour n ≥ 0. Définition croisée : ◮ f (0) ::= 1, g(0) ::= 1, ◮ f (n + 1) ::= f (n) + g(n), pour n ≥ 0, ◮ g(n + 1) ::= f (n) × g(n), pour n ≥ 0 136
Définitions mal formées Des problèmes peuvent apparaître lorsque la fonction ne suit pas la définition du type de données récursifs : (ne définit pas f2 de manière 0 si n = 1, f1(n) ::= f1(n + 1) sinon. unique) ⎧ ⎨ 0 si n est divisible par 2, f2(n) ::= 1, ⎩ 2, si n est divisible par 3, sinon. f3(n) ::= 0 si n = 0 f3(n + 1) + 1, sinon. (f3(6) = 0 ou f3(6) = 1) (f3(1) n’est pas défini) 137
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Partie 1 Techniques de preuves et a
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Propositions Définition : Une prop
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Prédicats Définition : Une propos
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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Une preuve sans mot Théorème de P
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Découpage + glissement de 2 unité
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Principe du bon ordre Le principe d
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Schéma de preuve par le principe d
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Un ensemble bien ordonné plus comp
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Un modèle pour les démonstrations
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Une démonstration par induction er
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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Induction forte Principe d’induct
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Exemple : hauteurs des piles score
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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◮ Deux types de mouvements : mouv
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◮ Lemme 4 : Dans toute configurat
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◮ Théorème : Aucune séquence d
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Plan 1. Machine d’état 2. Princi
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Machine d’état Un machine d’é
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Exécution et déterminisme Défini
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Démonstration d’un invariant Th
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Invariant inductif ◮ Définition
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Déterminisme Lemme (déterminisme)
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Boucle infinie Théorème : Pour au
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Si evalCom(Cn+1, s) = s ′ , il y
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Exemple : A C B ◮ A et B sont adj
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Boucles : On peut autoriser qu’un
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Théorème : Tout graphe G = (V , E
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Théorème : Soit T = (V , E) un ar
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◮ Un arbre binaire est un arbre a
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Tout graphe biparti peut donc être
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Un énoncé formel Définition : So
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Problème des mariages stables Déf
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Terminaison Théorème : L’algori
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Correction partielle Théorème : T
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Equité L’algorithme est-il équi
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Réseaux de communications Hypothè
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Congestion Définition : ◮ La con
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Tableau à deux dimensions Réseau
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Quelques propriétés des notations
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Quelques propriétés 1. f (x) =
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Chapitre 7 Récurrences 333
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Introduction Rappel : La notation a
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Complexité d’algorithmes récurs
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Propriété (borne supérieure) : O
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Solution : Soit Fn le nombre de pro
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Dénombrement : exemple 3 Définiti
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Techniques de résolution de récur
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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4. Trouver une solution analytique
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Récurrence linéaire d’ordre 1 L
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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Induction et notation asymptotique
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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Théorème : Si f1(n) et f2(n) sont
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1 + ◮ Les fonctions c √ n 5 1
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Résolution des récurrences linéa
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Exemple Résolvons la récurrence d
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Etape 3 : Trouver une solution part
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Un second théorème plus général
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Exemple d’application ◮ Soit la
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Changement de variables Un changeme
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Introduction Les fonctions généra
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Extraction des coefficients Calculo
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Application 2 : nombre d’arbres b
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◮ Fonction génératrice pour le
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