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Dénombrement : exemple 2 Problème : ◮ Un programme informatique considère un chaîne constituée de chiffres décimaux comme un mot de passe valide si elle contient un nombre pair de chiffres 0. ◮ Par exemple “1230407869” et “12345” sont des mots de passe valide mais “120987045608” et “012879” ne le sont pas. ◮ Calculez Tn, le nombre de mots de passe valides de longueur n. Solution : Une chaîne valide de n chiffres peut être obtenue de deux façons : ◮ en ajoutant un chiffre parmi {1, . . . , 9} au début d’une chaîne valide de longueur n − 1 ◮ en ajoutant un 0 au début d’une chaîne non valide de longueur n − 1 On a donc : avec T0 = 1. Tn = 9Tn−1 + (10 n−1 − Tn−1) = 8Tn−1 + 10 n−1 342
Dénombrement : exemple 3 Définition : L’ensemble B des arbres binaires est défini comme suit : ◮ Cas de base : L’arbre vide ∅ appartient à B. ◮ Cas récursif : Soit B1, B2 ∈ B, alors branch(B1, B2) ∈ bTree. Le nombre de nœuds n(B) est défini récursivement par : ◮ Cas de base : n(∅) = 0 ◮ Cas inductif : n(branch(B1, B2)) = 1 + n(B1) + n(B2) Théorème : Le nombre bn d’arbres binaires ayant n nœuds est donné par : b0 = 1 n−1 bn = bkbn−1−k pour n > 0 k=0 343
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Introduction à la théorie de l’
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Objectifs et plan du cours Objectif
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Prédicats Définition : Une propos
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Autres types de proposition ◮ Un
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Exemples de démonstrations Théor
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Schémas de preuves classiques Quel
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Implications Deux méthode pour pro
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Si et seulement si : exemple Théor
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Preuve par cas On va traiter les de
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Exemple Théorème : √ 2 ∈ R\Q.
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Écrire de bonnes démonstrations E
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On en déduit que : c−1 i = i=1 E
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◮ Puisque a et b sont plus petits
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Cas inductif : Supposons que P(n) s
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On a (n + 1) 3 − (n + 1) = n 3 +
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Dallage On souhaite créer une terr
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Problème : Choisir P(n) = “il ex
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Divisons la terrasse en 4 quadrants
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- On obtient : s. total = score du
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Remarques : ◮ Tout théorème qui
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Prédicat (invariant) Théorème :
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Ambiguité d’une définition réc
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Sémantique Essentiellement deux ty
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Expressions arithmétiques Idée g
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Exemple Evaluation de (3 + (2 + 1))
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◮ En appliquant la règle (S-ADD)
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Déterminisme Théorème : Si E →
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Déterminisme et normalisation Corr
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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Le graphe Chapter 11 des Simplerela
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◮ Le rapport entre les degrés mo
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Isomorphisme 80 Graph Theory Isomor
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Théorème : Soit v un sommet arbit
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Coloriage de graphes Problème : l
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Associons une couleur à chaque pla
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k-coloriages Définition : Un graph
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Un énoncé formel Définition : So
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Tableau à deux dimensions Réseau
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“mcs” — 2012/6/4 — 15:49
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Comparaisons de récurrences : lin
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Chapitre 8 Fonctions génératrices
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Exemples ◮ Multiplication par une
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Dérivation et intégration Propri
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Produit Propriété : Si 〈a0, a1,
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Sommes partielles Propriété : Si
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Extraction des coefficients Propri
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Formule de Newton généralisée So
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Synthèse : opérations entre fonct
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Résolution de récurrences Princip
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Récurrences linéaires (homogènes
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Nombres de Catalan Théorème : Soi
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Plan 1. Définitions et opérations
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Classes combinatoires Problème gé
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Application 2 : nombre d’arbres b
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Démonstration : 1. Soit an et bn l
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Applications : choix avec répétit
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Applications : comptage difficile P
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◮ Fonction génératrice pour le
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