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Principe du bon ordre Exemple dans une précédente preuve : ... √ 2 peut s’écrire a b où on suppose que a et b n’ont pas de facteur commun... Montrons que c’est toujours possible par le principe du bon ordre : ◮ Soit l’ensemble suivant : C = {a ∈ N|∃b ∈ N : √ 2 = a b }. ◮ Par le principe du bon ordre, il existe un plus petit élément a ′ dans C. Soit b ′ ∈ N tel que √ 2 = a′ b ′ . ◮ Supposons que a ′ et b ′ aient un facteur commun c ′ > 1. On a alors √ 2 = a ′ /c ′ b ′ /c ′ et donc a ′ /c ′ appartient à C. ◮ Or a ′ /c ′ < a ′ , ce qui amène une contradiction puisque a ′ est le plus petit élément de C. ◮ On a donc √ 2 = a′ b ′ où a ′ et b ′ n’ont pas de facteur commun. 34
Schéma de preuve par le principe du bon ordre Pour prouver qu’un prédicat P(n) est vrai pour tout n ∈ N : ◮ Définir l’ensemble C = {n ∈ N|P(n) est faux}. ◮ Supposer que C est non vide comme base pour une preuve par contradiction ◮ Par le principe du bon ordre, il y a un plus petit élément, n, dans C ◮ Atteindre une contradiction, souvent en utilisant n pour trouver un autre élément de C plus petit que n. ◮ Conclure que C doit être vide et donc que P(n) est vrai pour tout n. 35
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Réponse à l’énigme Théorème
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Exemple Soit le programme suivant (
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A chaque point initial E0, il corre
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Déterminisme et normalisation Corr
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Montrons que eval((E1 + E2)) = n3
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Sémantique opérationnelle : état
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Sémantique opérationnelle : assig
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Sémantique opérationnelle : condi
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◮ Un chemin est un graphe G = (V
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Quelques propriétés des notations
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Propriété (borne supérieure) : O
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Preuve d’une solution par inducti
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Méthode “Plug-and-Chug” (force
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Arbres de récursion Approche graph
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log 4 n c n 2 16 c n 2 4 c n 2 16 c
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Preuve d’une borne supérieure Th
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log 2 n apple h apple log 4 n log 3
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Synthèse Trois approches empirique
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