Insegnamento e Apprendimento delle Coniche A049.pdf - Didattica.it

Esercizi in preparazione
della verifica sull’ellisse
Esercizi
dal libro di testo
Pagg. 256 ss. , esercizi n. 8, 12-14, 17, 18, 23, 28, 30, 35, 49, 57, 60
Ripassare (o riprendere, se non lo si e’ fatto prima) lo svolgimento degli esercizi gia’ visti, in particolare i nn. 5,21,37,42,45,49,61,62
Esercizio 1
Nel piano cartesiano siano
dati i punti A(-3,2) e B(3,2). Si verifichi che l’origine O degli assi
appartiene all’ellisse di fuochi A e B e asse
maggiore di lunghezzaparia 213 (ricorda la definizione di ellisse com e luogo geometrico…)
Esercizio 2
Sull’ellisse di semiassi a e b e riferita ai propri assi si prenda un punto generico P(x,y). Dimostrare
che il suo simmetrico rispetto agli
assi appartiene ancora
all’ellisse.
Esercizio 3
Se
in un’ellisse riferita ai propri assi,
con i fuochi sull’asse x, aumento la distanza tra i due fuochi tenendo costante la lunghezza del
semiasse maggiore,
allora:
1) la lunghezza del semiasse minore [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
2) l’eccentricita’ [aumenta]
[diminuisce] [rimane costante]
3) la distanza del fuoco di ascissa
positiva dal vertice di ascissa positiva [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
4) la distanza del fuoco di ascissa positiva
dal vertice di ordinata positiva [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
5)
l’area dell’ellisse [aumenta] [diminuisce]
[rimane costante]
6) la somma delle distanza di un punto dell’ellisse dai fuochi [aumenta] [diminuisce] [rimane costante]
Esercizio 4
2 2
Verificare che la retta x - 2y = 4 e’ tangente all’ellisse 3x + 4y = 12 e trovare il punto di tangenza. Scrivere poi l’equazione della
bisettrice dell’angolo F1PF2 dove F1 e F2 sono i fuochi dell’ellisse
(Aiutarsi tracciando il grafico dell’ellisse, la tangente nel punto
trovato e i segmenti PF1 e PF2. Ricordare poi la proprieta’
di riflessione dell’ellisse…)
[(1,-3/2); y = -2x + 1/2]
Esercizio 5
I pianeti del sistema solare seguono orbite ellittiche, con il sole che occupa uno dei due fuochi dell’ellisse.
a) Sapendo che il semiasse maggiore dell’orbita terrestre
e’ circa 150 milioni di km e che la sua eccentricita’ e’ 0,02, calcolare la
distanza tra i due fuochi dell’orbita ellittica terrestre e calcolare
(con la calcolatrice) il suo semiasse minore
[distanza tra i fuochi: 6 milioni di km; semiasse minore: 149 969 997 km]
b) Sapendo che il semiasse maggiore dell’orbita
ellittica di Plutone misura 6 miliardi di km, e che la distanza tra i due fuochi misura 1,5
miliardi
di km calcolare (senza calcolatrice) l’eccentricita’ dell’orbita di Plutone e il suo semiasse minore
[e = 1/4; semiasse minore = (3/2) * 15 miliardi di km]
c) Tra la Terra e Plutone, quale delle due orbite e’ più “schiacciata”
? Quale e’ meno eccentrica?
Esercizio 6 (con qualche indizio in più)
Sia dato un segmento di lunghezza a+b i cui estremi A e B
siano vincolati agli assi cartesiani (A sull’asse delle ordinate
e B su quello delle ascisse) e possano scorrere liberamente
su di essi. Si prenda un punto P(x,y) tale che PA = a e PB =
b. Siano H e K le sue proiezioni sugli assi.
Considerando i triangoli simili APH e PBK e chiamando d il
lato
BK si trovi il valore di d considerando noti a, b e x.
Applicando
al triangolo PBK il teorema di Pitagora si
dimostri poi che
il punto P, al variare della posizione del
segmento AB, si trova sempre sull’ellisse di equazione
x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1
Esercizio 7
Sia data l’ellisse di equazione x al variare di k, il numero di intersezioni che essa ha con:
na intersezione; per |k| = 3 si ha 1 intersezione; per |k| < 3 si hanno 2 intersezioni]
[nessuna intersezione per k > 6 o k < -4; una intersezione per k = 6 o k = -4; due intersezioni per -4 < k < 6]
2 /9+y 2 /25=1. Si determini,
1) la retta x=k
[per |k| > 3 non si ha nessu
2) la retta y=k-1
Esercizio 8
Un’ellisse ha i fuochi in (0,2) e (0,-2) e un suo punto P ha coordinate (3,2). Determinare la lunghezza dell’asse maggiore e le coordinate
dei vertici di ascissa nulla (utilizzare la definizione di
ellisse come luogo geometrico e le proprieta’ conosciute…)
[8;(0,4) e(0,-4)]
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