Insegnamento e Apprendimento delle Coniche A049.pdf - Didattica.it

Le sezioni coniche
Le “coniche” sono quelle curve che risultano dall’intersezione di un cono con
un piano (ad esempio l’intersezione di un cono di luce con il piano del muro,
oppure un cono gelato tagliato con la lama piana di un’affettatrice). Siccome si
ricavano tutte con lo stesso procedimento le chiamiamo con un nome unico.
Ciononostante c’è differenza tra alcuni tipi di coniche ed alcuni altri. In
particolare distinguiamo tre famiglie di coniche:
-le ellissi, curve chiuse, che appaiono quando tutti i raggi che formano il cono
intersecano il piano
-le parabole, aperte, che appaiono quando il raggio più esterno è parallelo al
piano
-le iperboli, anch’esse aperte, che appaiono quando il raggio più esterno diverge
dal
piano
Se
pa
allora possiamo
immaginarlo come avente
due “falde” simmetriche e
che si “aprono” in
direzioni opposte 9 però invece che pensare il cono come una serie di raggi (semirette) che
rtono dal vertice del cono stesso, lo pensiamo come una serie di rette che si
incontrano nel vertice,
, di cui
solo una è quella che
abbiamo considerato finora.
In questo caso però, mentre ellisse e parabola
rimangono uguali a prima, nel caso dell’iperbole
appare un’altra intersezione col piano, dovuta al
secondo cono (se da una parte il raggio più esterno del cono diverge dal piano, dall’altra parte
convergerà…). In effetti questa definizione è migliore e più generale, poiché conduce alle stesse curve
che si ottengono
con altre definizioni di ellisse, iperbole e parabola.
Non è infatti
questo il solo modo di definire le coniche.
L’ellisse si può infatti definire partendo da due punti F1 e
F2 detti fuochi
e cercando il luogo dei punti P tali che la
somma PF1+PF2 rimangacostante.
L’iperbole
parte sempre da due fuochi, ma questa volta è la
differenza PF1-PF2
a rimanere costante.
Per la parabola, che come abbiamo
visto nel caso delle sezioni di cono e piano (e
come suggerisce il suo stesso nome) è un “caso limite” sia dell’ellisse, che
dell’iperbole, la definizione data in
questo modo è un po’ diversa: si parte da un
solo fuoco
F e da una retta “direttrice” d; la parabola viene definita come luogo dei
punti P tali che la distanza di P da F sia sempre uguale alla distanza di P da d.
Le tre coniche
- ellisse, parabola e iperbole - sono sicuramente curve molto
“imparentate” tra di loro, come suggeriscono i due metodi di costruzione e come suggeriscono i loro
stessi nomi - “mancanza”, “uguaglianza” ed “eccesso” - usati con lo stesso significato anche quando si
tratta di figure
retoriche o narrative.
9 Apollonio di Perga (II sec a.C.), che studiò le coniche approfonditamente e ci scrisse sopra un famoso testo, ebbe questa
geniale intuizione
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