Insegnamento e Apprendimento delle Coniche A049.pdf - Didattica.it

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Le sezioni coniche Le “coniche” sono quelle curve che risultano dall’intersezione di un cono con un piano (ad esempio l’intersezione di un cono di luce con il piano del muro, oppure un cono gelato tagliato con la lama piana di un’affettatrice). Siccome si ricavano tutte con lo stesso procedimento le chiamiamo con un nome unico. Ciononostante c’è differenza tra alcuni tipi di coniche ed alcuni altri. In particolare distinguiamo tre famiglie di coniche: -le ellissi, curve chiuse, che appaiono quando tutti i raggi che formano il cono intersecano il piano -le parabole, aperte, che appaiono quando il raggio più esterno è parallelo al piano -le iperboli, anch’esse aperte, che appaiono quando il raggio più esterno diverge dal piano Se pa allora possiamo immaginarlo come avente due “falde” simmetriche e che si “aprono” in direzioni opposte 9 però invece che pensare il cono come una serie di raggi (semirette) che rtono dal vertice del cono stesso, lo pensiamo come una serie di rette che si incontrano nel vertice, , di cui solo una è quella che abbiamo considerato finora. In questo caso però, mentre ellisse e parabola rimangono uguali a prima, nel caso dell’iperbole appare un’altra intersezione col piano, dovuta al secondo cono (se da una parte il raggio più esterno del cono diverge dal piano, dall’altra parte convergerà…). In effetti questa definizione è migliore e più generale, poiché conduce alle stesse curve che si ottengono con altre definizioni di ellisse, iperbole e parabola. Non è infatti questo il solo modo di definire le coniche. L’ellisse si può infatti definire partendo da due punti F1 e F2 detti fuochi e cercando il luogo dei punti P tali che la somma PF1+PF2 rimangacostante. L’iperbole parte sempre da due fuochi, ma questa volta è la differenza PF1-PF2 a rimanere costante. Per la parabola, che come abbiamo visto nel caso delle sezioni di cono e piano (e come suggerisce il suo stesso nome) è un “caso limite” sia dell’ellisse, che dell’iperbole, la definizione data in questo modo è un po’ diversa: si parte da un solo fuoco F e da una retta “direttrice” d; la parabola viene definita come luogo dei punti P tali che la distanza di P da F sia sempre uguale alla distanza di P da d. Le tre coniche - ellisse, parabola e iperbole - sono sicuramente curve molto “imparentate” tra di loro, come suggeriscono i due metodi di costruzione e come suggeriscono i loro stessi nomi - “mancanza”, “uguaglianza” ed “eccesso” - usati con lo stesso significato anche quando si tratta di figure retoriche o narrative. 9 Apollonio di Perga (II sec a.C.), che studiò le coniche approfonditamente e ci scrisse sopra un famoso testo, ebbe questa geniale intuizione XXXIV
Esercizio 1 Dimostrazioni della simmetria di ellisse e parabola Dimostra che l’ellisse è simmetrica rispetto ai suoi assi AB e MN ovvero: 1) dimostra che preso un qualsiasi punto P appartenente all’ellisse, anche il punto P’, simmetrico di P rispetto all’asse maggiore AB, appartiene all’ellisse. Per fare ciò disegna il punto P’ in base alla definizione di simmetria di un punto rispetto ad una retta e dimostra facendo uso delle proprietà geometriche dei triangoli (che tu conosci) che P’ fa parte dello stesso luogo di punti (l’ellisse) a cui appartiene P (usando la definizione di ellisse come luogo di punti…). 2) Fa’ lo stesso per quanto riguarda la simmetria rispetto all’asse minore MN Esercizio 2 Dimostra che la parabola è simmetrica rispetto al suo asse XXXV
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