Insegnamento e Apprendimento delle Coniche A049.pdf - Didattica.it

-per quanto riguarda la fase 2 a livello di comprensione storica.
Consisterà
quindi in alcuni esercizi, scelti tra gli esempi già svolti, in alcuni problemi concernenti il
concetto di luogo geometrico, di tipo quantitativo e qualitativo, e in una parte di “saggio breve” su
qualche
aspetto storico, eventualmente affiancata da alcune domande chiuse.
I risultati della verifica saranno discussi in classe la volta successiva.
Fase 4 - (la formalizzazione algebrica) Studio di coniche sul piano cartesiano (6 ore)
Sarà affrontato lo studio nel piano cartesiano di una conica , l’ellisse. Questa curva è già stata vista
in precedenza come luogo geometrico, in alcuni procedimenti di costruzione, e ne sono state
evidenziate alcune proprietà. Si riprenderanno quindi man mano quelle proprietà (come le varie
definizioni di luogo geometrico che se ne possono dare, l’eccentricità’, ecc.) per verificarle con lo
strumento cartesiano. A partire dalla costruzione effettuata con riga e compasso, operando nel
registro cartesiano, si ricaverà come l’ellisse è rappresentata da un’equazione di secondo grado. Si
affronterà il problema della ricerca delle tangenti ad una ellisse, dal punto di vista algebrico,
visualizzando la situazione con Cabri, questa volta sfruttando la possibilità di scrivere l’equazione
in coordinate cartesiane della curva tracciata.
I principali punti di seguito elencati saranno trattati:
-varie costruzioni dell’ellisse (e della sua equazione canonica)
-assi, simmetrie, vertici, fuochi, eccentricità
-significato dei coefficienti dell’equazione
-intersezione con una retta e tangenza
-proprietà di riflessione
-condizioni per la determinazione dell’equazione cartesiana, fascio di ellissi
-traslazioni applicate ad un’ellisse
(il penultimo punto potrebbe anche essere usato per introdurre il concetto di “grado di libertà”,
facendo vedere attraverso Cabri come una sola condizione dia ancora modo ad un’ellisse di
modificarsi - e con lei la sua equazione - mentre due condizioni la “fissino”. Nella parabola ciò
sarebbe ancora più interessante poiché le tre condizioni permetterebbero di vedere zero, uno, due e
tre gradi di libertà)
Tutta questa fase è caratterizzata da numerosi esercizi dati per casa, eseguiti alla lavagna e
commentati
assieme alla classe. Si cercherà, sempre al fine di non separare in maniera drastica la
precedente parte esplorativa da quella attuale di:
-evidenziare la comodità dal punto di vista tecnico dell’uso delle coordinate cartesiane
-evidenziarne la generalità
-riferirsi spesso a proprietà già
incontrate e a motivare il procedere con la necessità di verificarle o
di dimostrarle in maniera rigorosa
-utilizzare il linguaggio tabulare (per avere la “controprova numerica” di quanto ottenuto per via
algebrica simbolica)
-porre problemi (non meramente esecutivi) da risolvere (singolarmente o in gruppo) in aula
F ase 5 - (all’indietro) Riesame sul piano cartesiano di curve e proprietà già incontrate (1 ora)
Questa breve fase deve servire per allargare
l’uso del registro semiotico del piano cartesiano a una
vastità
di utilizzi che non riguardino solo la particolare conica esaminata. Questo da un lato per non
situare troppo l’apprendimento dell’utilizzo delle coordinate cartesiane “fissandolo” su una sola
applicazione, dall’altro
per riprendere alcuni problemi incontrati in ambito grafico, o proposizionale
e dare ad essi una nuova veste, cioè una nuova forma, una nuova definizione, e una più generale
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