Fundamentos de Física 9ª Edição Vol 2 - Halliday 2 ED 9 (em cores)

PARTE 2
OSCILAÇÕES 103
~ se a placa se move lentamente) N
maçao . · esse caso, para co1nponentes ao longo do
eixo x na Ftg. 15-14, temos:
F = -bv
(15-39)
" '
onde b é uma cons!a~te de amortecimento que depende das características tanto
da placa ~o~o do liq~ido e t:m unidades de quilogra1na por segundo no SI. O sinal
negativo 1nd1ca que Fª se opoe ao movimento.
~ f~rça exercida pela mola,sobre o bloco é F 111
= -kx. Vamos supor que a força
grav1tac1onal a que o bloco esta submetido é desprezível e1n comparação com F,, e
F.,. Nesse ~aso, podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao
longo do eixo x (F re,,.x = 1nax) como
-bv - kx = nia. (15-40)
Substitu~ndo v por dx/dt, a por cPx/dt 2 e reagrupando os termos, obtemos a equação
dif erenc1al
cuja solução é
dx
+b +kx=O
dt ,
(15-41)
x(t) = x 111
e - htl2tn cos(w't + <fJ), (15-42)
onde x'" é a a1nplitude e w' é a frequência angular do oscilador amortecido. A frequência
angular é dada por
w' = ~ ~
b2
4m 2 ·
(15-43)
Se b = O (na ausência de amortecimento), a Eq. 15-43 se reduz à Eq. 15-12
(w = .J k / 111) para a frequência angular de um oscilador não amortecido e a Eq.
15-42 se reduz à Eq. 15-3 para o deslocamento de um oscilador não amortecido.
Se a constante de amortecimento é pequena, mas diferente de zero ( de modo que
b << &), w' = w.
Podemos considerar a Eq. 15-42 como uma função cosseno cuja amplitude,
dada por x,,,e-brri, .. , diminui gradualmente com o tempo, como mostra a Fig. 15-15.
Para um oscilador não amortecido, a energia mecânica é constante e é dada pela Eq.
15-21 (E= t kx; ). Se o oscilador é amortecido, a energia mecânica não é constante
e diminui com o tempo. Se o amortecimento é pequeno, podemos determinar E(t)
substituindo x,,, na Eq. 15-21 por x 111
e-b 112 "', a amplitude das oscilações amortecidas.
Fazendo isso, obtemos a equação
(15-44)
que nos diz que, corno a amplitude, a energia mecânica diminui exponencial1nente
co1n o te1npo.
X
+., ,,, ir-.-
- - -
.,-x( t)
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-
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x,,,e
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Figu~a 15- 15 A função desloc:uncnto x(t) e.lo oscila~or a,nortecido da Fig. 15-14. A
amphtudc que é dada JO r x e_,,,n,,, diminui cxponenc1almentc co1n o te1npo.
.. 1 ,,. ..