,.48 CAPITULO 13 •Superposição A., força., graviH,cionais ohctll'l'l'lll no 1>rht('Ít>loda , upcrposição: se II partículas intc1agcn1 1 a lorçn n.:sullnnll' l•i,,11que age sobre u1na partícula dcnon1i11ad11 pnrtícula I l\ n sonu1 dnsforça., exercida., individualtncntc sobre eln pclns outras purtil·ulns:•,,li\~ !·11,( 1 J. S)1 'onde o so1nat6rio é tuna so1na vetorial dns forças /;j, cxl.lrcidns sobrea partícula I pelas partículas 2, 1, ... , 11. A forçn grnvi1ncion11l i jexercida por u1n corpo de clirncnsões finitas sobre un1u pnrtículu écalculada dividindo o corpo cn1 partículas de ,nnssa i11finilesilnnl dnt,cada uma das quais produz.indo t11n11 força infi11itcsin1ul d1:· sobre 11partícula, e integrando para obter a so1nn dessas forças:Aceleração Gravitacional( 1 J-6)A aceleraçc1o gravitacional ªx deuma partícula (de massa tn) se deve unic111nc11te à força gravitacionalque age sobre ela. Quando tuna purtícula está u un111 distllncin rdo centro de um corpo esférico ho1nogênco de 1nnssn M, o rnóduloF da força gravitacional sobre a partícula é eludo peln Eq. J 3-1 . Assírn,de acordo·com a segunda lei de Newton,,..J/1(/11' (1'.l-10)o que nos dá{/ li ,:GMr2• ( 1 J. 11 )A~~leração d~ Queda ~ivre e Peso Como a Terra não é pcrfe1!amcnte esférica, ei;tá girando e sua 1nassa não está distribuídaun1f ~r~emente, a aceleração de queda livre g de tuna partícula naspro1:1m1dades da Terra clif ere ligeirarnente da aceleração gravitacionale~, e? peso da partícula (igual a 111g) difere do módulo da forçagrav1tac1onal que age sobre a partícula, dada pela Eq. 13- 1.Gravitação no Interior de uma Casca Esféricaho ri d é . 111a cascamogcnca ~ inat ·na não exerce força gravitacional sobre umapartícula· 1, ·localizada 110 seu interior. Isso significa que se . ,'J 1 · . , , urna p,lrt •cu ,l estiver oca ,zada 110 interior de uma esfe1·a ,nac1·ça l1 ~. d'. , ·. . · , on1ogcneaª,um,, ,•stânc1a, do centro, a força gravitacional exercida sobre apartículc1 se deve. apenus à mussa M 1111 que se encontra no interior deuma esfera de nuo r. Essa massa é dada poronde fJ é a rnassa específica da esfera.4'7Tr 1M,nl fJ 1 • ( 1 J-18)Energia Potencial Gravitacional A e11crgi·1 potenci·II .. .lac,onal li( r) de un1 sisle111a de duas partículas ;,e 111·1s•··,s' Mg1 ,IVtsep·11··1d·,.., 1· . •· ,,,, e 111. .' , , .. por tuna e 1:,tfinc1a,, é igual ao negativo do l1"1h·1ll1<1 •seria rcal1zado p •I· f .. . , • • que\Obre a OU(f'I i-il' 'Cl <,111' 1<;1~11. gntVtléll'IOllaJ de Ullla J)llllfL'llla agindo' · ' :, ,1nct.1 entre el·1s 111 1 J· • l · · ,grande) até,. I• . , • . , '. 'l .I\Sc < e 111111111:r (11111110. Js:,,1 e lll'1 g ta l' dada por()(i!i,/1111(l'IICl}'iH f)llll'lll'Íill t•f,l\'llill lllllill)( 1 J-21 )uEnorgln Potoriclnl cio ur,1 Slstor,10 SL' u1n s~slc~11a contc,n11111is dl' duns p111l (l'Ul11s. n enl·rgin potcnl:~nl gravitac1onal Ué asn11111 dl' lc1·11H>S qlll' l'l'Pl'l'Sl'llllllll as cnerg,_as potcnc1a1s de lodo,os purcs dl' piul(l't1lus. J>or CXL'lllplo: para trcs partículas de 1nas~a,111,. 1111 e 111,,li (( ,·,,, ,,,, ' 1/'1}( IJ-22)Un1 objeto escapará da atração graVolocldado de Escapevitacional de u1n astro de 111assa Me raio R (islo é, atingirá urnadistfinciu infinita) seu velocidade do objeto nus prpxi1nidadcs dasuperfície do nstro for igual ou n1aior que a velocidade de esca-J>C, cladn por2GMV( 13-28)/?Leis de Kepler O 111ovin1ento dos planetas obedece às três leisde Kepler, que são u1na consequência direta das leis do tnovimentoe dn gravitação de Newton e ta1nbé1n se aplica1n aos satélites, tantonuturuis con10 artificiais:1. Lei ,las órbitas. Todos os planetas se 1nove1n en1 órbitas elípticas,con, o Sol c1n tnn dos focos.2. lei tias árells. A reta que liga qualquer planeta ao Sol varreáreas iguais e1n intervalos de ten1po iguais. (Esta lei é equivalenteà lei de conservação do n10111ento angular.)3. Lei tios JJ~rfodos. O quadrado do período T de qualquer planeiaé proporcional ao cubo do sernieixo rnaior a da órbita. Para órbitascirculares de raio r •7·2 ( 4172 ) 1- r · (lei dos períodos), ( 13-34)GM -onde M é a massa do corpo atrator (o Sol, no caso do sistemasola~·): No c~so de órbitas elípticas, o raio r é substituído pelose1n1e1xo 1na1or a.Energia él' no Movimento PI anet á rio . Quando um planeta ousa·t tle de massa ,,, se n1ove em ó b. . 'potencial u e a e . . . .uma r lta circular de raio r, a energia' ne1g1a c1116ttca K são dadas porU = _ GM111,. e /( = GM1112rA energia inecânica E = K + U <e, portanto,. - /.' GM1t12rNo caso de uma órbita elíptica de sc111ieixo n1aior a.IE<; A/1112a(13-21, 13-38)( 13-40)( 13-42)T eorin da Gravitação de Eir1s • . . .la~·ao e ill'elcru, .. . • tein 10E, nstc111 1nostrou que gravr·. ', s,10 cqu1valcnt . . E . , ~cu, L' a ha!'lt' dL· uni·, t. . cs ... ssc 1>r111c1pio de equivalen-, 1:011.i du gr· · d~rral) que e, 111 Íl"l 1 1 . . '1 v llaçao ( a lcorin da rclativida e,. • >se L'ltus g,· v't· . . . .-..,1u1.1 dn e"pa~·o.• 1 1 <11.: ton,us c111 terrnos de u1na cur
- - - -. -R ~ r. .P.A. , - -1i PEBGDIITAS 1~ - . • - . - ?' .. .. ~ -- • -·•·-, ~ CT~,.,..; ~ .> ~1,"" . ... - ~ - ---- - - 1..:.:.-..,. : • ~~ .._ -- 1--- .........- - .-_11,. .._. &3J!..- r:,_• Me , .J!_'M•e.:!..!lf~ p pp-------------------+-------------•-•: Í\--~----~-------- R:1---------~-;_.. ~( t'esu ~~-'"'c:a:5:-t.~ e-. eté"=º·" ,~!".:.:-~,=. f.;J C-;-d~ os ~ 2'"ios &-•eFigura 13-24 Pe.gr..::..,ra 5.6 •·aFig. !3-"'5_ três panículas S20 mantidas fi~as .•.\ ID3S-<::i de Bé mio;-que a mzssa ru: C. l:'ma quar..a panícula (partícu}3 D> podeser coloc2da em a1gum lugar ru: tal ionna que a força g:ra,itacion:tlicS!ll12,,.-i.e e:i.:emda sobre a panícula.-! pelas parúculas B. C e D sejanula? Ca...'-0 a ~-posta seja afirmatiya. em que quadrante deve serco!oe2da e ll25 proximidades de que ei"'o?l-3 X.:. Fr~.-:3-...::_ ~-~~!:u!::: ce:J!l"d eslá rerrada por dois anéis..:ü-.:tW...c:- & p;::...li.:cJ"'- & roos r e R. com R > r. Todas as pará\,.1rL1,e~::: ~ r..e.:sc..,. ~ »-<> m. Q;.!?is são o cõdnJo e a orieniaçãou.:-~- toe,.~ -S..!.' T'.2=ioo.iJ i"e:sl?li27i.:f': 2 ate ~"1.a ' salJinetlua • -~- a panlCU ' la~ --=-a:..i.~ =~Figura 13-25 Pergunta 6.- ---,-:A=-o-----C:::......._• li..,-d--'Od-L. BX• ••/Figura 13-22 P ... -:zunta 3.-.,///• ----},f;----•///~•/•/4 Na f 1 _ 13-23.d Jl2IÚCUl- d~ m ,n e 2m. estão fi xas emume1xo: a Em _ Ju_ardo e xo um- terceira panícula. de mas~' pede :<,.eT co :aif:: ~xclu1ndo o 1ntínno para que a força gra\ 1-ca re ltanieet-rCl- "'ree ap!l d pnme1ra.s partículasse :i nu a _ ~rda <b: d pnme,~ pa.rt rui a d1re1ta. entree ~- J)Or.!m m~J ~o d3 ~ J::i de m I r ou entre elas,porém lmI5 perwcb. p:m'cul m~n b Ar, posta muda~ _ 1erce,ra panicul u um3 m de J om . e E I te ai,,. umpon o for_ do e to clu nd o 1nfin11 n uai a ~ rça re ult.antee er-cid_ re 3 terceira p .... 1. _ula é nulali7 Oroene os quano sistemas de partículas de mesma massa do Teste2 de acordo com o Yalor absoluto da energia potencial g1a\'itacionaldo sistema começando pelo maior •8 A Fig. 13-26 mostra a aceleração graYitacional ar de quatro planetasem função da distância r do centro do planeta. con1eçandona superfície do planeta (ou seja. na distância R 1• R:. R 3ou Jt). Osgráficos l e 2 coincidem para r .2! R:: os gráficos 3 e .i coincidemparar> R. Ordene os quatro planetas de acordo (a) com a n1assae (b I com a massa específica em ordem decrescente .a1 1 ..-11 "1'11 11 1Figura 13-26 Pergunta 8.4Ra / G l i~-'R
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