Fundamentos de Física 9ª Edição Vol 2 - Halliday 2 ED 9 (em cores)

266 CAPÍTULO 20
o Stirling dessa aproximação não é Robert Stirlíng, o inventor da máquina de Stirling,
e sim um matemático escocês chamado James Stirling.
TESTE 5
Uina caixa contém 1 molde um gás. Considere duas configurações: (a) cada lado da caixa
contém metade das moléculas e (b) cada terço da caixa contém um terço das moléculas.
Qual das configurações possui mais microestados?
Cálculo do aumento de entropia associado a uma expansão livre usando microestados
No segundo exe1nplo deste capítulo vimos que se n mols
de u1n gás ideal passam a ocupar o dobro do volume em
u1na expansão livre, o aumento de entropia do estado inicial
i para o estado final! é S 1
-
S; = riR ln 2. Mostre que
esse resultado está correto usando os métodos da mecâ-
• • •
nica estat1st1ca.
Podemos relacionar a entropia S de qualquer configuração
das moléculas de um gás à multiplicidade W dos microestados
dessa configuração usando a Eq. 20-21 (S = k ln W).
Cálculos Estamos interessados em duas configurações:
a configuração final f ( com as moléculas ocupando todo
o volume do recipiente da Fig. 20-lb) e a configuração
inicial i ( com as moléculas ocupando o lado esquerdo do
recipiente). Como as moléculas estão em um recipiente fechado,
podemos calcular a multiplicidade W dos microestados
usando a Eq. 20-20. Neste caso, temos as N moléculas
contidas nos n mols do gás. Inicialmente, com todas as
moléculas no lado esquerdo do recipiente, a configuração
(11 1
, 11 2
) é (N, O) e, de acordo com a Eq. 20-20,
N!
W, = N! O! = 1.
Com as moléculas distribuídas por todo o volume, a
configuração (n 1
, 11 2 ) é (N/2, N/2). De acordo com a Eq.
20-20, temos:
N!
(N/2)! (N/2)! .
J)c ac<Jr<..l<J com a EcJ. 20-21. as entropias inicial e final
~a<,
e
S
1
= kln W 1
= kln(N!) - 2kln[(N/2)!]. (20-23)
Para chegar à Eq. 20-23, usamos a relação
a
ln b 2
= lna -
21nb.
Aplicando a aproximação de Stirling (Eq. 20-22) à Eq.
20-23, obtemos:
S 1
= kln(N!) - 2kln((N/2)!]
= k[N(ln N) - N] - 2k[(N/2) ln(N/2) - (N/2)]
= k[N(ln N) - N - Nln(N/2) + N]
= k[N(ln N) - N(ln N - ln 2)] = Nk ln 2. (20-24)
De acordo com a Eq. 19-8, podemos substituir Nk por nR,
onde R é a constante universal dos gases. Nesse caso, a
Eq. 20-24 se toma
S 1
= nRln2.
A variação de entropia do estado inicial para o estado final
é, portanto,
S 1 -
S; = nRln2 - O
= nRln 2, (Resposta)
como queríamos demonstrar. No segundo exemplo deste
capítulo, calculamos este aumento de entropia para uma
expansão livre a partir dos princípios da termodinâmica.
encontrando um processo reversível equivalente e calculando
a variação de entropia para esse processo em termos
da temperatura e da transferência de calor. Neste exemplo.
c~l~ulamos a mesma variação de entropia a partir dos princ1p1os
da mecânica estatística. usando o fato de que o siste­
~a é f armado por moléculas. Essas duas abordagens, muito
diferentes, fornecem exatamente a mesma resposta.