Fundamentos de Física 9ª Edição Vol 2 - Halliday 2 ED 9 (em cores)

PARTE
OSCILAÇÕES 95
A energia potencial de urn oscilador linear como o da Fig. 15-5 está inteiramente
associada à mola. Seu valor depende do grau de alongamento ou compressão da
mola, ou seja, de x(t). Pode1nos usar as Eqs. 8-11 e 15-3 para obter a seguinte expressão
para a energia potencial:
U(c) = lkx 2 = !kx;, 1
cos 2 (wt + <f>). (15-18)
Atenção: a notação cos 2 A (usada na Eq. 15-18) significa (cos A) 2 e não é o mesmo
que cos A 2 , que significa cos(A 2 ).
A energia cinética do sistema da Fig. 15-5 está inteiramente associada ao bloco.
Seu valor depende da rapidez com a qual o bloco está se movendo, ou seja,
de v(t). Podemos usar a Eq. 15-6 para obter a seguinte expressão para a energia
. , .
c1net1ca:
K(t) = !mv 2 = ! mw 2 ."(;, 1
sen 2 (wt + <f>). (15-19)
Usando a Eq. 15-12 para substituir w 2 por k/m, podemos escrever a Eq. 15-19 na
forma
K(t) = ~mv 2 = ~kx;, 1
sen 2 (wt + <f>).
(15-20)
De acordo com as Eqs. 15-18 e 15-20, a energia mecânica é dada por
E=U + K
= ~kx;, 1
cos 2 ( wt + </>) + !l,x;, 1
sen 2 (wt + </>)
= ~kx;, 1
[cos 2 (wt + </>) + sen 2 (wt + </>)].
•
Para qualquer ângulo a,
cos 2 a+ sen 2 a = 1.
Assim, a grandeza entre colchetes é igual a 1 e temos
E = U + K = ! kx;,1.
Isso mostra que a energia mecânica de um oscilador li~ea~ é; .de fato, const~nte e
1n · d epen d ente d o t em po · A energia potencial e a . energia c1net1ca de - um os01lador d 1
11near . sao - mostra d as em f unç -a 0 do tempo t na Fig. ]5-6a e em funçao do es oca-
1nento x na Fig. 15-6b.
U(t)
K(t)
- ~ !..._~L_~L--~~-t
T/ 2 T
( a) Quando o tempo passa, a
energia é transferida de
um tipo para outro, mas a
energia total é constante.
-X m o
~b)
· . . U(t) energia cinética K(t) e energia mecânica E em
l - 15-6 (a) Energia potencial ' A • linear Observe que todas as energias são
f 1
·1 d r barmon1co ·
'· ' ., do tempo t para um osci .ª 0 . . ética passam por dois máximos em cada
P< :ti val:> e que a energia po~encial eª ene~gia. c~~ca K(x) e energia mecânica E em fwiçãp
l' · o<lo. (b) Energia potencial U(X'), en~rgi~;:r de amplitude xin· Parax = O, areneJigi.11'
cL posição x para u1n oscilador harmônico.
tqu~ cinétíca; para X = ±Xm, é toda p@tenctal.