Fundamentos de Física 9ª Edição Vol 2 - Halliday 2 ED 9 (em cores)

I
. . Exo1111>lo - - ,.
- . -
Diferença entre a acolor,1çl\o ,1,, c11l,uç11 e, 11 11c:,,lur,1,;0,, ,t,,n s•ó!i
a t:ruJ. astronauta cuja altur.i /, ~ l. 70 tu t1utuu '\.·on 1 os
pés para b3i..'\o ·· en1 u111 õ11ibus espaci~,1 e111 úrbitu a u 11111
distância r = 6. -- 10" n1 do ce11tro da TetTa. Qunl e u
diferença entre a aceleração gravitacional dos pés l' u ucc­
Ieração da cabeça da astronauta?
IDEIA~ CHAVE
Podemos aproximar a Terra por uma esfera ho111ogê11en de
massa.\[1' De acordo com a Eq. 13-11, a ncelernçuo gravitacional
a qualquer distância r do centro da TetTa é
G1\JT
0
s = r 2 · (13-15)
Poderíamos simplesmente aplicar esta equação duas vezes,
primeiro com r = 6, 77 X 10 6 m para os pés e depois con1
r = 6. 77 X 10 6 + 1, 70 m para a cabeça. Entretanto, como I,
é muito menor que r, uma calculadora forneceria o 1nes1no
_,•alor para ag nos dois casos e, portanto, obteríamos wna
diferença nula. Outra abordagem é mais produtiva: como
a diferença dr entre a distância dos pés e a distância da
cabeça da astronauta e o centro da Terra é muito pequena,
,•amos diferenciar aEq. 13-15 em relação ar.
Cálculos Diferenciando a Eq. 13-15, obtemos
GMrd
da 8
= -2 r3 r, (13-16)
lllllll· o v11l111 dr A,1 1
1,,1 ,,t,1111,, ,,,, I 11 1,tl1 ( <,,
tudo sig11iltl'II q111· 11111 rl1·t111, ,,, ,,,u 1111,, ,,,,, 1f ,f,, I
,,1 I( r li
llStllllltl\1111 l'III cli1t·~·1111" 'f c,, s, 6 ltY,tllfll(I ,,1
1111ct•lt·l'11~·1111 dn <"nh1·~11 A <1111 ,,.,,,,,, ·r,11 , ,u. I r ir:
(co11htc1d11 t·1>1110 <'/t•/f(I fllflrfJ ,,.,,,,~ ;, ~,,,, f1r (1 ,,rrx, c1
llSll'Ulllllltll, tnUII é f llh fll'Cjlll' rtll IJfll; r,,,,, f ,, ,,jr f(:f flf:IW
bitltt.
(b) Se 11 111cs11111 11111r,,111111111 c1;f{i "tle 1,6~ r,,,r,, f,,,t/..(, crn
tunu nuvc csp11ci11l ctn t11n11 órlirt~, ( <,rr, ,, r,,,._ 11Jr, r;:11, r
6,77 X J <>'' 111 cm l<1rn,, de 111n ht1rfu ..,, ri~g,,, tlc r,1,1. ~
M,, - 1,99 y 10 11 kg (l(J VC/);t, ,l fUfl!;f;/1 ,1,, ',,,IJ, ljtJ:11 é
a dif crcnçu entre u ucclcruçr,,, 1tr;, vít;,, .. í, ,,,~, ti,~ f}ç. e ,111
cubeçu7 O buruco negro pon11uJ ur,,H t.ur~rffr.re f ct,111flí:II;;
de horizonte ele even/<1,V) de rslÍh 1< 1 , U íM,/1 1 - 1,.4% /
10- 27 M 1 , - 2,95 Y l (>" m, hndc r é ~ vt;f, ,<.,1rl:,1Je (1:, 1,,1:
Nadu, nem mesmo u Jui, pod<; <;ii<:c1pt1r cfc\~t1 t:upcrff,.1,;, r,,
de qualquer ponto do íntcríor, N<>t.C <1uc ~ t1·.trr,r,;,1Jt.:s t. .t~
bem longe do horizonte de cvcnt,,~. ( r 22'Jf<1;J
Cálculos Mais uma vez, tcmC>f, urn~ Vt1ri&1;ã1, 1Jr er.tre rm
pés e a cabeça da a11tronau1a e p<,dc1nr,. éfr1r,rt:e::ir ~ 0~.
13-16. Agora, porém, em vez de M ,, t.crn,,·. que u~.~, M,, -
1,99 X 10 31 kg. O resultado é
(6,67 x 10 11 m 1 /kg·s 2 ){1,'J9 / 1<iil klQ
daR - -2 (6,77 / 1(Í'm)1 - (11(> rnJ
onde da é o acréscimo da aceleração gravitacional em
g
consequência de um acréscimo dr da distância ao centro da
Terra. No caso da astronauta, dr= h e r = 6,77 X 10 6 m.
Substituindo os valores conhecidos na Eq. 13-16, temos:
- - (6,67 x 10-11 m3/kg. s2)(5,98 X 1024 kg) (1,70 m)
da, - 2
(6,77 X 10 6 m) 3
= -4,37 X 10- 6 m/s 2 , (Resposta)
= - 14,5 m/s 2 • (~..e.v~taJ
Isso significa que a aceleração gravítací,,nal drn JX;1 ,J::s ~f,..­
tronauta em direção ao buraco negr,, é bérr, m&i<,r qu~:, &,
cabeça. A força resultante scría !iuportável, rn<:1<, drJJor,) ~.
Se a astronauta se aproximasse do bura:c<, n<:gr<,, (! f,,rr,:,
de estiramento aumentaria dra,tícamcntc.
13-5 A Gravitação no Interior da Terra
o teorema das cascas de Newton também pode ser aplicado a uma situação na qual
a partícula
,
se encontra no interior
· · d
e uma case
a homogênea
•
para demonstrar o se~
guinte:
A
U
d atén'a na-o exerce força gravitacional sobre umu purtfcula
ma casca h omogenea e m
localizada no interior.