Fundamentos de Física 9ª Edição Vol 2 - Halliday 2 ED 9 (em cores)

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CAPÍTULO 20
cinco moléculas restantes. e assim por diante. O nú1nero total de formas pelas quais
podemos escolher as seis moléculas é o produto dessas formas independentes, 6 x
5 x 4 x 3 x 2 X 1 = 720. Em notação mate1nática, escrevemos esse produto como
6! = 720, onde 6! é lido co1no "seis fatorial". A maioria das calculadoras pennite
calcular fatoriais. Para uso futuro, você precisa saber que O! = l. (Verifique na sua
calculadora.)
Como as moléculas são indistinguíveis, os 720 arranjos não são todos diferentes.
No caso em que n
1
= 4 e 11 2
= 2 (a configuração III na Tabela 20-1), por exemplo,
a ordem em que as quatro moléculas são colocadas em um dos lados da caixa não
importa, pois, após as quatro moléculas terem sido colocadas, é impossível determinar
a ordem em que foram colocadas. O número de formas diferentes de ordenar as
quatro moléculas é 4 ! = 24. Analogamente, o número de formas de ordenar as duas
moléculas no outro lado da caixa é 2! = 2. Para determinar o número de arranjos
diferentes que levam à divisão (4, 2) que define a configuração III, devemos dividir
720 por 24 e também por 2. Chamamos o valor resultante, que é o número de microestados
que correspondem a uma configuração, de multiplicidade W da configuração.
Assim, para a configuração ID,
6! 720
W. --- = 15.
111 = 4 ! 2 ! - 24 X 2
É por isso que, de acordo com a Tabela 20-1, existem 15 microestados independentes
que correspondem à configuração III. Note que, como também pode ser visto na
tabela, o número total de microestados para as sete configurações é 64.
Extrapolando de seis moléculas para o caso geral de N moléculas, temos:
W= N!
n1! n2!
(multiplicidade da configuração). (20-20)
O leitor pode verificar que a Eq. 20-20 fornece as multiplicidades de todas as configurações
que aparecem na Tabela 20-1.
A hipótese fundamental da mecânica estatística é a seguinte:
~Todos os microestados são igualmente prováveis .
.,
o
'Ó
!9 .,,
CJ
8
u
·- E
CJ
'Ó
8
Pico central
CJ
i::
.5 1.--~~'--~.-J...~~--'--~--'
zo 25 50 75 100%
Porcentagem de moléculas
do lado esquerdo
Figura 20-18 Gráfico do número
de microestados e1n função da
porcentagem de moléculas do lado
. ,
e-.qucrdo da caixa para um nu1nero
~ratule de moléculas. Quase todos
os microestados correspondem a um
11ún11.:ro apro,on1adamcntc igual de
n1olt:culai; no'> doí-. lado" da caixa; esses
n 111.: 1 ucst,1J1 ,s I orn1a111 o JJ/l o ce11t ral
Jn g,,1111.:11. l'ar.i N = 10' <o nún1cro
1111111>.1111.1d11 Je 1n11lé1.: ula'i l·onllda'> e111
uni 11101 d..: u111 g:ís/, o p11.:11 ccnt1al -.cria
1,111 e 1r.:it11 que. n,1 escala Jo gi.íril'11,
1,~·:11 i.1 1cJu1iJu ., u111,1 ,cta, crtical.
Em outras palavras, se tirássemos muitas fotografias das seis moléculas enquanto se
movem na caixa da Fig. 20-17 e contássemos o número de vezes que cada microestado
aconteceu, verificaríamos que os 64 microestados aconteceram com a mesma
frequência. Assim, o sistema passa, em média, a mesma qt1antidade de tempo em
cada um dos 64 microestados.
Como todos os microestados são igualmente prováveis e configurações diferentes
podem ter um número diferente de microestados, nem todas as configurações são
igualmente prováveis. Na Tabela 20-1, a configuração IV, com 20 microestados, é
a configuração mais provável, com uma probabilidade de 20/64 = 0,313. Isso significa
que o sistema se encontra na configuração IV 31,3% do tempo. As configurações
I e VII, nas quais todas as moléculas se encontram em utn lado da caixa, são
as menos prováveis, com uma probabilidade 1/64 = O,O 16 ou 1,6% cada uma. Não
é de espantar que a configuração mais provável seja aquela ein que as 111oléculas
estão igualmente divididas entre os dois lados da caixa, pois é O que esperan1os que
a~~nteça e~ equilíbrio térmico. Entretanto, é surpreendente que exista uma prob 3 -
b1J.1dade 111,ta, embora pequena, de que as seis n1oléculas se junten1 ein un1 lado Ja
caixa, deixando o outro laclo vazio.
Para grand.es valores de N, existe um nún 1 ero extren 1 a,nente grande de rnicroestallos,
n1as prat1can1entc todos os n1icroestados, co1110 ,nostra a Fig. 20-18, pertencem
a c:onhguração na qual as n1oléculas estão divididas iouaJn1ente entre os dois IaJos
• 1 • e,
ua caixa. Mesn10 4ue os valt>rcs n1edidos da teinperatura e pressão do gás pern 1 a·