Dokument 1.pdf - Universität Siegen

5 Lineare Parameteridentifikationsverfahren
Zeitdiskretes Modell:
x(k) = A(θ) · x(k − 1) + B(θ) · u(k − 1) + G · w(k − 1) (5.97)
y(k) = C · x(k)+v(k) (5.98)
Die gleichzeitige Parameter- und Zustandsschätzung kann zum einen mit einem Extended
Kalman-Filter (EKF) für die direkte Parameter- und Zustandsschätzung oder zum
anderen indirekt durch ein adaptives Verfahren parallel zur Zustandsschätzung durchgeführt
werden, siehe Abbildung 5.13. Im Unterpunkt 5.2.1 soll das EKF für kontinuierliche
sowie zeitdiskrete Ausgangsgleichungen dargestellt werden. Im anschließenden
Unterpunkt 5.2.2 werden die adaptiven Verfahren betrachtet. Abschließend wird das
EKF den adaptiven Verfahren anhand eines Beispiels gegenübergestellt und bewertet.
5.2.1 Extended Kalman-Filter
Bei der Vorgehensweise mit EKF werden die unbekannten Parameter θ als neue Zustände
in die Zustandsraumdarstellung eingeführt. Dabei wird ein vergrößerter Zustandsvektor
mit den Zuständen und den Parametern gebildet:
x a =[x 1 x 2 ··· x n θ 1 ···θ i ] T (5.99)
Dadurch entsteht automatisch eine nichtlineare Zustandsraumbeschreibung, die mit einem
EKF gelöst werden kann. Für Problemstellungen, bei denen ein zeitdiskretes oder
ein kontinuierliches Zustandsraummodell vorliegen, siehe Gleichungen (5.95)-(5.97), ergeben
sich zwei unterschiedliche EKF. Diese sind von Krebs [17] dargestellt worden und
werden in den nächsten beiden Abschnitten vorgestellt.
Zeitdiskrete Modelldarstellung
Ausgehend von der in Kapitel 2.2.1 dargestellten nichtlinearen stochastischen zeitdiskreten
allgemeinen Modelldarstellung ergibt sich folgende nichtlineare Zustandsraumbeschreibung,
wenn für die unbekannten Parameter neue Zustände eingeführt werden und
diese sowohl in der Zustandsraumgleichungen als auch in den Beobachtungsgleichungen
auftreten:
x a (k) = f[x a (k − 1),u(k − 1),k− 1] + G · w(k − 1) (5.100)
y(k) = h[x a (k),k]+v(k) (5.101)
mit x a =[x 1 x 2 ··· x n θ 1 ··· θ i ] T (5.102)
Der Grund für die Betrachtung unsicherer Parameter in der Beobachtungsmatrix C
ist, daß das allgemeine EKF für spätere Anwendungen abgeleitet werden soll. Bei der
weiteren Herleitung wird statt des vergrößerten Zustandsvektors x a der einfache Zustandsvektor
x verwendet.
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