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10.4 Herleitung einer äquivalenten Schreibweise für die Fehlerkovarianz P (k) und dem Gain γ
10.4 Herleitung einer äquivalenten Schreibweise für die
Fehlerkovarianz P (k) und dem Gain γ
Für die Ableitung der Beziehung wird folgendes Matrix-Inversions-Lemma benötigt:
[A + BCD] −1 = A −1 − A −1 B[DA −1 B + C −1 ] −1 DA −1 (10.9)
Dabei sind A, B, C und D Matrizen von kompatibler Dimension, so daß das Produkt
BCD und die Summe A + BCD existiert. Der Beweis für das Lemma kann durch eine
rechtsseitige Multiplikation von Gleichung (10.9) geführt werden und man erhält:
I + A −1 BCD − A −1 B[DA −1 B + C −1 ] −1 D
−A −1 B[DA −1 B + C −1 ] −1 DA −1 BCD
= I + A −1 B[DA −1 B + C −1 ] −1 { [DA −1 B + C −1 ]CD − D − DA −1 BCD }
= I + A −1 B[DA −1 B + C −1 ] −1 {0} = I (10.10)
Dies beweist den Zusammenhang in Gleichung (10.9). Das Verwenden des Lemmas für
den Übergang der Gleichung (5.30) unter der Verwendung der Gleichung (5.33) ergibt
den folgenden Zusammenhang:
P (k) = [ P −1 (k − 1) + ψ(k) · ψ(k) ] T −1
= P (k − 1)
− P (k − 1) · ψ(k) [ ψ T (k) · P (k − 1) · ψ(k)+1 ] −1
· ψ(k)T · P (k − 1)
= P (k − 1) − P (k − 1) · ψ(k) · ψ(k)T · P (k − 1)
(10.11)
1+ψ T · P (k − 1) · ψ(k)
mit A = P (k − 1) = ¯R(k − 1) = 1 k R(k − 1), B= ψ(k), C=1,D= ψT (10.12)
Der Vorteil bei dieser Darstellung liegt an der Tatsache, daß die Inversion einer Matrix
durch eine Division eines Skalars ersetzt worden ist, was die Berechnung erheblich vereinfacht.
Mit der Gleichung (10.11) kann man zusätzlich einen Ausdruck für das Gain γ
einführen:
γ(k) = P (k) · ψ(k)
= P (k − 1)ψ(k) − P (k − 1) · ψ(k) · ψ(k)T · P (k − 1)ψ(k)
1+ψ(k) T · P (k − 1) · ψ(k)
P (k − 1) · ψ(k)
=
1+ψ(k) T · P (k − 1) · ψ(k)
(10.13)
Mit diesen Herleitungen stehen die Zusammenhänge für das Gain γ und die Fehlerkovarianzmatrix
P zur Verfügung.
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