Dokument 1.pdf - Universität Siegen

5 Lineare Parameteridentifikationsverfahren
= f x(k)/Y k ,θ · f y(k),Y k−1 ,θ · f Y k−1 ,θ
f θ · f Y k−1 ,θ
(5.132)
= f x(k)/Y k ,θ · f y(k)/Y k−1 ,θ · f Y k−1 /θ (5.133)
. (5.134)
k∏
= f x(k)/Y k ,θ · f y(j)/Y j−1 ,θ (5.135)
j=1
In der Matrix Y k sind alle Meßwerte enthalten:
Y k = [y(1) T y(2) T y(3) T ··· y(k) T ] (5.136)
Die Kenntnis, daß sich der Parametervektor sehr langsam im Vergleich zu den Zustandsvariablen
ändert, ermöglicht erst eine Bestimmung der erhaltenen Verteilungsdichtefunktion
in Gleichung (5.135). Die Parameter werden als konstant im Intervall der
k-Abtastperioden modelliert. Damit ist der Parametervektor θ konstant für alle y(k)
und die zu bestimmenden Verteilungsdichtefunktionen können für den konstanten Parametervektor
ermittelt werden:
k∏
f x(k),Y k /θ (ξ,Yk /ϑ) = f x(k)/Y k ,θ ·
=
(
f x(k)/Y k ·
j=1
f y(j)/Y j−1 ,θ
k∏
f y(j)/Y j−1)∣
(5.137)
∣∣∣ϑ=ˆθ=const
j=1
Verwendet man ein Kalman-Filter für die Zustandsschätzung, können die Verteilungsdichtefunktionen
in der Gleichung (5.137) mit den Größen des Kalman-Filters für einen
konstanten Parametervektor bestimmt werden. Die Herleitung des Kalman-Filters mit
überlagertem Maximum-Likelihood Verfahren ist im Anhang 10.5 dargestellt.
Im anschließenden Abschnitt werden die im Anhang hergeleiteten Filtergleichungen für
das Verfahren des Parameter- und Zustandsschätzers mit Kalman-Filter und überlagertem
Maximum-Likelihood Verfahren zusammengefaßt.
Zusammenfassung der Gleichungen
Der Scoring-Algorithmus berechnet den Schätzwert für den Parametervektor rekursiv
über die Meßsequenzlänge N für jeden Abtastschritt k, d.h.eswirdfür jeden neuen
Meßwert ein Schätzwert für den Parametervektor gebildet. Die Rekursion beginnt bei
k − N + 1. Dabei werden die Zustandsschätzwerte durch das Kalman-Filter und die
Parameterschätzwerte durch das überlagerte Maximum-Likelihood Verfahren berechnet,
das durch das rekursive Scoring-Verfahren realisiert ist. Der Ablauf der Berechnungen
ist in einem Flußdiagramm in Abbildung 5.14 dargestellt. Die einzelnen Punkte sind
dann detailliert in den Filtergleichungen (5.138)-(5.167) beschrieben.
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