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3 Modellierung der dynamischen Gemischbildung
Das Systemverhalten wird anhand der Abbildung 3.13 dargestellt.
u
✲ H(s) ✲
✻
✲
Totzeit
y
Abbildung 3.13: System mit Totzeit
Das Ausgangssignal y(t) läßt sich in Form folgender Faltungsgleichung darstellen. Hierin
entspricht ∗ der Faltungsoperation und τ d der zu bestimmenden Totzeit.
y(t) =u(t) ∗ h(t) ∗ δ(t − τ d ) (3.55)
Mit dem Einsetzen der Gleichung (3.55) in die dem Korrelationsintegral entsprechende
Korrelationsgleichung ergibt sich der folgende Zusammenhang. Hierin entspricht ⋆ der
Korrelationsoperation aus Gleichung (3.54):
ϕ uy (t) =[u(t) ∗ h(t) ∗ δ(t − τ d )] ⋆u(t) (3.56)
Wendet man auf diese Beziehung das Distributivgesetz an und faßt das Eingangssignal
zur Autokorrelationsfunktion zusammen, ergibt sich folgender Zusammenhang:
ϕ uy (t) =ϕ uu (t) ∗ h(t) ∗ δ(t − τ d ) (3.57)
Setzt man für das Eingangssignal folgende Randbedingungen voraus, dann kann die
Autokorrelationsfunktion ϕ uu vereinfacht werden:
• Mittelwertfreiheit,
• gaußverteilter weißer Rauschprozeß.
Für die Autokorrelationsfunktion ergibt sich für diese Einschränkungen:
ϕ uu = N 0 · δ(t) (3.58)
Die vereinfachte Kreuzkorrelationsfunktion besitzt dann folgende Form:
ϕ uy (t) =N 0 · h(t − τ d ) (3.59)
Für diesen Spezialfall ist die mit dem Faktor N 0 gewichtete verschobene Stoßantwort
das Endergebnis. Das Maximum der bestimmten Kreuzkorrelationsfunktion stellt sich
an der Stelle der gesuchten Totzeit ein:
ϕ max = N 0 · h(t − τ d )| t=τd
(3.60)
Ein mittelwertfreies Eingangssignal besitzt den Vorteil einer prägnanteren relativen Ausbildung
des Maximums, da man nur die Wechselleistung betrachtet. Die Verwendung
einer weißen gaußverteilten Rauschsequenz liefert die Stoßantwort als Kreuzkorrelationsfunktion.
Über die Analyse der Stoßantwort ist auch eine Identifikation des Systemverhaltens
möglich.
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