Dokument 1.pdf - Universität Siegen

6.2 Parameter- und Zustandsschätzung
In diesem Unterpunkt wird das Verfahren für nichtlineare Modelldarstellungen erweitert.
Hierfür muß das Kalman-Filter durch ein Extended Kalman-Filter für die nichtlineare
Zustandsschätzung ersetzt werden. Je nach Problemstellung können die abgeleiteten
EKF für zeitdiskrete bzw. kontinuierliche Modelldarstellungen aus Kapitel 5.2.1
verwendet werden. Die Lösung der Maximum-Likelihood Schätzung nach dem Scoring-
Verfahren, welches im Kapitel 10.5.2abgeleitet worden ist, muß dann an den nichtlinearen
Fall angepaßt werden. In den folgenden zwei Abschnitten werden die Filtergleichungen
für den zeitdiskreten und kontinuierlichen Fall vorgestellt.
Zeitdiskrete Modelldarstellung
Ausgehend von der in Kapitel 2.1.2 dargestellten nichtlinearen zeitdiskreten allgemeinen
Modelldarstellung ergibt sich folgende nichtlineare Zustandsraumbeschreibung, wenn unbekannte
Parameter in den Zustandsraumgleichungen zugelassen werden:
x(k) = f[x(k − 1),u(k − 1),k− 1,θ]+w(k − 1) (6.3)
y(k) = h[x(k),k]+v(k) (6.4)
Für die zeitdiskrete Modelldarstellung ergeben sich die folgenden Gleichungen des
Kalman-Filters im Time-Update, wenn das EKF aus Kapitel 5.2.1 für die Zustandsschätzung
verwendet wird.
1. Berechnungen während des Time-Updates: (k − N +1≤ j ≤ k)
a. Filtergleichungen des EKF:
Zur Bestimmung dieser Gleichungen wird der letzte Schätzwert verwendet:
ˆx − (j) = f[x,u j−1 ,j− 1,θ] ∣ x=ˆx
+
j−1 ,θ=ϑ (6.5)
P − (j) = ˜F · P + (j − 1) · ˜F T + G · Q(j − 1) · G T (6.6)
P yy (j) = ˜H · P − (j) · ˜H T + R(j) (6.7)
K(j) = P − (j) · ˜H
[ T · ˜H · P − (j) · ˜H
−1 T + R(j)]
(6.8)
∂f[x,u j−1 ,j− 1,θ]
mit ˜F = ∣
∂h[x,j]
und ˜H = ∣ (6.9)
∂x
∂x
∣
x=ˆx
+
j−1
∣
x=ˆx
−
j
Für den Score-Algorithmus muß die Ableitung ∂ˆx− j
∂ϑ m
bestimmt werden. Dabei muß
die nichtlineare vektorielle Funktion f[x,u j−1 ,j − 1,θ]inAbhängigkeit des Filterschätzwerts
ˆx + j−1 und der Steuerungseingangsgröße u betrachtet werden, damit
die Abhängigkeiten im Bezug auf die Parameter richtig erfaßt werden. Hierfür
werden Terme der nichtlinearen Funktion abgespalten, die nur eine Funktion der
Steuereingangsgröße und des Parametervektors sind:
f[x,u j−1 ,j− 1,θ] ∣ x=ˆx
+ =f 1 [x,u j−1 ,j− 1,θ] ∣ j−1
x=ˆx
+ +f 2 [u j−1 ,j− 1,θ] (6.10)
j−1
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