Dokument 1.pdf - Universität Siegen

5.1 Parameterschätzung
Die besondere Form des Beobachtungsvektors wird auch häufig als Regressionsvektor ϕ
bezeichnet. Dieser kann mit den folgenden Zusammenhängen für das Regressionsmodell
in der Gleichung (5.12) bestimmt werden:
ϕ ˆ= C T =[−Y k U k ] T (5.17)
θ ˆ= x =[a 1 a 2 ··· a m b 0 b 1 ··· b n ] T (5.18)
Die Minimierung des vorher beschriebenen Gütefunktionals in Gleichung (5.11) übernimmt
dann das Regressionsfilter bzw. der Zustandsschätzer. Zur Lösung dieser Aufgabe
werden folgende drei Verfahren, wie von Ljung und Söderström [19] dargestellt,
gegenübergestellt. Dies sind zum einen die beiden Regressionsverfahren mit WRLS und
RML und zum anderen ein stochastischer Beobachter mit LKF.
5.1.1 Verfahren mit Recursive Maximum-Likelihood
Ausgangspunkt für die Herleitung ist die Annahme einer ARMAX-Modellstruktur, wie
in Gleichung (2.42) hergeleitet. Daraus ergibt sich nach Umformung der folgende Zusammenhang:
A(z) ·Y(z) −B(z) ·U(z) =C(z) ·W(z) (5.19)
Die Übertragungsfunktion C(z) besitzt die gleiche Form der Beziehung in (2.40):
C(z) =1+c 1 · z −1 + ···+ c o · z −o (5.20)
Führt man nun das ARMAX-Modell in Gleichung (5.19) in das Fehlermodell in Gleichung
(5.3) über, dann ergibt sich der folgende Zusammenhang für den Fehlervektor:
E(z) =C(z) ·W(z) (5.21)
Das gegebene Modell kann nun mit dem Regressionsansatz aus Gleichung (5.12) beschrieben
werden und es ergeben sich folgende Zusammenhänge für das Regressionsmodell, den
Regressionsvektor und den Parametervektor:
⎡ ⎤
−y(k − 1)
.
−y(k − n)
u(k)
y(k) =ϕ T (k) · θ(k)+e(k) mit ϕ(k) =
.
u(k − m)
e(k − 1)
⎢ ⎥
⎣ . ⎦
e(k − o)
⎡ ⎤
a 1
.
a n
b 0
und θ(k) =
.
(5.22)
b m
⎢
c 1
⎥
⎣ . ⎦
c o
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