Dokument 1.pdf - Universität Siegen

10 Anhang
Daraus folgen die vereinfachten Bestimmungsgleichungen der Informationsmatrix nach
Rao:
{
E γ m [y(k), ˆϑ] ˆϑ]}∣ ∣∣
· γ n [y(k), = ˆϑ= ˆϑi
1
[
2 · tr P + (k) −1 · ∂P+ (k)
· P + (k) −1 · ∂P+ (k)
∂ϑ m
{
E s m [y(j), ˆϑ] · s n [y(j), ˆϑ]
}∣ ∣∣
= ∂ˆx− j
ˆϑ= ˆϑi
∂ϑ m
T
∂ϑ n
]
+ 1 2 · tr [
P −1
yy (j) · ∂P yy
∂ϑ m
(j) · P −1
yy (j) · ∂P yy
∂ϑ n
(j)
+ ∂ˆx+ T
k
· P + (k) −1 · ∂ˆx+ k
∂ϑ m ∂ϑ n
· C T · Pyy −1 (j) · C · ∂ˆx− j
∂ϑ n
]
(10.39)
Eigenschaften des Scoring-Verfahren
Durch die eingeführten Vereinfachungen von Termen zweiter Ordnung durch den Zusammenhang
in Gleichung (10.38) verringert sich der Rechenaufwand des Scoring-Verfahrens
erheblich und es werden nur Terme erster Ordnung zur Berechnung benötigt. Der Fehler,
der durch diese Vereinfachung begangen wird, ist von der Ordnung 1 für große N.
N
Für große N erreicht das Scoring-Verfahren sogar die Konvergenzeigenschaften des
Newton Verfahrens. Im allgemeinen konvergiert es weniger schnell in der Nähe der
Lösung im Vergleich zum Newton, aber es konvergiert aus größeren Bereichen bei erheblich
geringerem Berechnungsaufwand. Für das Scoring-Verfahren ergeben sich einige
Nachteile, die allerdings in der praktischen Anwendung beseitigt werden können.
Zum einen sind beim Filterstart für die Berechnung der Informationsmatrix nach Rao
sehr kleine Werte für die Matrixelemente zu erwarten. Durch die Inversion der Informationsmatrix
nach Rao zur Bestimmung der negativen Hesseschen Matrix in Gleichung
(10.29) ergeben sich sehr große Matrixelemente, deshalb sind diese keine gute Näherung
der negativen Hesseschen Matrix. Durch die Verwendung einer vorausberechneten, festen
Informationsmatrix während des Einschwingverhaltens kann diesem Problem im angewendeten
Filter begegnet werden. Die berechnete Näherung wird dann aktiviert, wenn
sich die negative Hessesche Matrix in einer annehmbaren Größenordnung befindet.
Zum anderen bedeutet die wiederholte Berechnung der Informationsmatrix von Rao und
die Bildung der Inversen einen erheblichen Berechnungsaufwand. Nach dem Übergangsverhalten
verändert sich die Matrix nicht mehr erheblich, so daß es möglich ist, diese
konstant zu halten und nur in bestimmten Berechnungsabständen zu überprüfen, ob eine
Neuberechnung notwendig ist.
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