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2.2 Stochastische Modelldarstellung
Für den zeitkontinuierlichen Fall in Gleichung (2.38) muß in Gleichung (2.40) nur z
durch s ersetzt werden. Daraus folgt für den unbekannten Parametervektor:
θ =[a 1 a 2 ···a n b 0 b 1 ···b m c 1 c 2 ···c r d 0 d 1 ···d p f 0 f 1 ···f q ] (2.41)
Es soll hier angemerkt werden, daß sehr selten die allgemeine Struktur aus Gleichung
(2.39) in der Realität benötigt wird. Im folgenden werden einige interessante Vereinfachungen
für reale Problemstellungen gezeigt:
•F= 1 und D =1
Für diesen Fall ergibt sich die bekannte ARMAX-Struktur 4 . Dann besitzen H und
G denselben Nenner. Dies kann für die Modellierung von Störungen verwendet
werden, die früh im Prozeß, d.h. nahe dem Systemeingang, auftreten.
A·Y = B·U+ C·W (2.42)
•A=1, C = 1 und D =1
Für diesen Fall ist G = 1. Dieses Modell wird auch als Ausgangsfehlermodell
bezeichnet, denn es setzt voraus, daß der folgende Zusammenhang den Ausgangsfehler,
d.h. die Differenz zwischen gemessenen Ausgang Y und dem Modellausgang
B
F
·U, darstellt.
Y = B F
·U+ W (2.43)
W = Y− B F
·U (2.44)
•A=1
Eine Besonderheit dieses Modells ist, daß G und H keine gemeinsamen Parameter
besitzen, d.h. die beiden Übertragungsfunktionen sind unabhängig. Für diesen Fall
ist es möglich H immer noch zu schätzen, während sich die Parameter von G in
keinem physikalisch sinnvollen Bereich befinden.
Y = B F ·U+ C D
·W (2.45)
Die Wahl einer geeigneten Struktur hängt von der Problemstellung und dem a priori
Wissen ab. Zusätzlich zu den eigentlich interessierenden Systemparametern a i und
b i sind nach der Modellierung des Formfilters c i , d i und f i als weitere Parameter zu
schätzen. Für die abgeleiteten Zusammenhänge können dann Parameterschätzverfahren
zur Bestimmung der Parameter des Systemverhaltens und des gewählten Formfiltermodells
eingesetzt werden.
4 AutoRegressive Moving Average eXogenous
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