Dokument 1.pdf - Universität Siegen

10 Anhang
Eine einschränkende Aussage ist mit dieser Vorgehensweise nicht möglich, allerdings
zeigen die Schätzergebnisse für das reale Streckenverhalten im Kapitel 8.2das die Identifizierbarkeit
über den gesamten Betriebsbereich erfüllt ist.
10.3 Herleitung des Ansatzes zur Parameterschätzung mit dem
RML-Verfahren
Ausgangspunkt ist die Taylorreihenentwicklung des Gütefunktionals um den letzten
Schätzwert ˆθ(k − 1) aus Gleichung (5.23):
V k (θ) = V k (ˆθ(k − 1)) + V k(ˆθ(k ′ − 1)) · [θ − ˆθ(k − 1)]
+ 1 2 · [θ − ˆθ(k − 1)] T · V k ′′ (ˆθ(k − 1)) · [θ − ˆθ(k − 1)] + h.o.t. (10.3)
mit h.o.t. ˆ= high order terms (10.4)
Die Bedingung für ein Extremum des Gütefunktionals ist durch den Zusammenhang
gegeben:
∂V k
∂θ ∣ = 0 (10.5)
θ=ˆθ
Wendet man diesen Zusammenhang für die Taylorreihenentwicklung an, dann ergibt sich
folgende Darstellung für θ = ˆθ(k):
0 = ∂ {
V ′
∂θ
k(ˆθ(k − 1)) · [θ − ˆθ(k − 1)]
+ 1 2 · [θ − ˆθ(k − 1)] T · V k ′′ (ˆθ(k − 1)) · [θ − ˆθ(k − 1)] + h.o.t.}∣
(10.6)
∣∣∣θ=ˆθ(k)
0=V ′
k(ˆθ(k − 1)) + 2 · 1
2 · V ′′
k (ˆθ(k − 1)) · [ˆθ(k) − ˆθ(k − 1)] + h.o.t (10.7)
Wird die Gleichung (10.7) nach ˆθ(k) aufgelöst, dann ergibt sich der Zusammenhang
für den Maximum-Likelihood Schätzwert, unter der Voraussetzung, daß die auftretende
Inverse existiert.
ˆθ(k) = ˆθ(k
[
] −1
− 1) − V k ′′ (ˆθ(k − 1)) · V
′
k(ˆθ(k − 1)) T +h.o.t. (10.8)
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