Dokument 1.pdf - Universität Siegen

10.5 Herleitung des Maximum-Likelihood Verfahrens
Hieraus ergibt sich das Endergebnis für die Bestimmung des Maximums der Likelihood-
Funktion bei bekanntem Schätzwert der Zustandsschätzung durch einen Kalman-Filter:
{
tr P + (k) −1 · ∂P+ (k)
−
−2 ·
k∑
j=1−N+1
k∑
j=1−N+1
}
∂ϑ m
{[
tr Pyy −1 (j) − Pyy −1 (j) · r j · r T j
∂ˆx − T
j
· C T · Pyy −1 (j) · r
∂ϑ j =0
m
]
· Pyy −1 (j) · ∂P }
yy
(j)
∂ϑ m
mit r j =[y j
− C · ˆx − j ] und P yy (j) =C(j) · P − (j) · C(j) T + R(j) (10.27)
Die erhaltene nichtlineare Gleichung ist nur durch ein iteratives Verfahren zu lösen.
Zur Lösung wird das Newton Verfahren [8] eingesetzt, so daß die allgemeine Gleichung
f(x) = 0 mit dem Ansatz x i+1 = x i − f ′ (x i ) −1 · f(x i )gelöst wird. Mit der allgemeinen
Gleichung (5.129) und der Reduktion auf eine reine Parameterschätzung ergibt sich mit
dem Newton Verfahren:
ˆϑ i+1 = ˆϑ i −
{( ∂ 2 L[Θ(k),Y k ]
) −1
∂ϑ 2 · ∂L[Θ(k),Yk T
]
}∣
(10.28)
∂ϑ
∣∣ϑ=ˆθi
Ein Problem des iterativen Lösens nach diesem Verfahren liegt im Aufwand der Bestimmung
der zweiten Ableitungen. Es existieren folgende zwei Möglichkeiten, um den
Aufwand für eine Berechnung so gering wie möglich zu halten:
• Vereinfachungen durch Beschränkungen im Systemmodell oder Beschränkung auf
die Bestimmung von Parametern in Q und R,
• Ersetzen der zweiten Ableitung durch eine Näherung (Scoring-Verfahren).
Im weiteren Verlauf wird das Scoring-Verfahren dargestellt und die erste Möglichkeit
wird nicht untersucht, da die Einschränkungen eine Allgemeingültigkeit verhindern.
10.5.2 Scoring-Verfahren
Um den Scoring-Algorithmus zur Lösung der vorher bestimmten nichtlinearen Gleichung
(10.27) einzusetzen, müssen folgende Terme zur Lösung des Newton Verfahrens in Gleichung
(10.28) bestimmt werden:
• Score-Vektor ∂L[Θ(k),Y k ]
∂ϑ
,
• bedingte Informationsmatrix nach Rao J[k, ˆϑ].
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