Dokument 1.pdf - Universität Siegen

5 Lineare Parameteridentifikationsverfahren
Für ¯R(k) ergibt sich mit der Gleichung (5.50) die Darstellung:
¯R(k) = ¯R(k − 1) + λ k · ϕ(k) · ϕ(k) T (5.55)
Wie auch beim Verfahren mit RML, beinhalten die Herleitung des Parameterschätzwertes
in Gleichung (5.54) eine Inversion der Matrix ¯R. Mit einer analogen Vorgehensweise
durch die Ausnutzung eines Matrix-Inversions-Lemmas, das für das Verfahren mit RML
im Anhang 10.4 abgeleitet wurde, kann eine Darstellung mit skalarer Division von folgender
Form bestimmt werden. In der Herleitung ist die Verstärkung γ durch L zu
ersetzen:
ˆθ(k) = ˆθ(k − 1) + L(k) · [y(k) − ϕ(k) T · ˆθ(k − 1)] (5.56)
L(k) =
P (k − 1) · ϕ(k)
λ k + ϕ(k) T · P (k − 1) · ϕ(k)
(5.57)
P (k) = P (k − 1) − L(k) · ϕ(k) T P (k − 1) (5.58)
In Gleichung (5.56) wird der neue Parameterschätzwert aus dem letzten Schätzwert und
dem durch die Verstärkung L gewichteten Residuum berechnet. Die Verstärkung L wird
mit dem Zusammenhang in Gleichung (5.57) berechnet.
Die Bestimmung des Forgetting-Faktors λ zur Berechnung der Verstärkung stellt eine
Schwierigkeit bei der Anwendung des WRLS-Verfahrens dar. Dieser Faktor wird als
Tuning-Faktor verwendet, besitzt allerdings keinen Zusammenhang zu den zu schätzenden
Parametergrößen. Weiterhin erweist sich die Bestimmung der Startwerte beim WRLS-
Verfahren als schwierig und entscheidet im Zusammenhang mit der Wahl des Forgetting-
Faktors oft über das Konvergenzverhalten und die Genauigkeit der Filterschätzwerte.
5.1.3 Verfahren mit linearem Kalman-Filter
Auf eine Herleitung der Gleichungen des Kalman-Filters für den linearen Fall wird verzichtet.
Für den interessierten Leser wird auf die einschlägige Literatur und hier im
speziellen auf Loffeld [20] verwiesen. Die Filtergleichungen setzen sich aus den Gleichungen
für das Time-Update und für das Measurement-Update zusammen.
Time-Update:
ˆx − (k) = A · ˆx + (k − 1) + B · u(k − 1) (5.59)
P − (k) = A · P + (k − 1) · A T + G · Q(k − 1) · G T (5.60)
Die Gleichungen des Time-Update werden auch Prädiktionsgleichungen genannt, da mit
diesen der nächste Schätzwert des Zustandsvektors im voraus berechnet (prädiziert) werden
kann, siehe Gleichung (5.59).
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