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5.2 Parameter- und Zustandsschätzung
Das Konvergenzverhalten eines EKF zur Parameter- und Zustandsschätzung ist stark
von den Startwerten des Filters P 0 und x 0 und der Einstellung des Driving-Noise Q
und des Measurement-Noise R zum Filter-Tuning abhängig. Bei der dargestellten Identifikation
des Luftpfades konnte erst ein sinnvolles konvergentes Verhalten erreicht werden,
nachdem eine physikalische Plausibiltätsprüfung des Parameters der Totzeit durchgeführt
wurde. Diese wurde nach dem Time-Update des Kalman-Filters in den rekursiven
Algorithmus eingefügt und wurde mit folgendem Zusammenhang bestimmt:
{
ˆx + 4 (k) =
ˆx + 4 (k) für n d · T ≤ ˆx + 4 (k) < (n d +1)· T
(n d +0.5) · T sonst
(5.182)
Hiermit wurde erreicht, daß der zu schätzende Parameter der Totzeit keine nichtphysikalischen
Werte annimmt. Betrachtet man die Schätzergebnisse in Abbildung 5.15, dann
sieht man einerseits ein konvergentes Verhalten bei der Schätzung der Saugrohrzeitkonstante
im Zustand x 5 und andererseits das divergente Verhalten bei der Schätzung
der Totzeit im Zustand x 4 , das nur durch die physikalische Beschränkung nicht zur
vollständigen Filterdivergenz führt.
Verfahren mit Kalman-Filter und überlagertem Maximum-Likelihood
Für die Anwendung des adaptiven Kalman-Filters mit überlagertem ML werden die folgenden
partiellen Ableitungen für die Berechnung des Algorithmus in den Gleichungen
(5.138)-(5.167) benötigt. Zunächst werden die partiellen Ableitungen der Zustandsübergangsmatrix
nach den Parametern τ s , t d und τ λ dargestellt:
⎡
⎤ ⎡
⎤
T
∂A
τ 2 s
· γ a 0 0
0 0 0
= ⎣
⎦
∂A
, = ⎣ 0 0 0⎦ und (5.183)
∂τ s ∂t d
∂A
∂τ λ
=
⎡
⎣
0 0 0
0 0 0
− T ·(1−m)
τ 2 λ
− T ·(1−m)
τ 2 s
− 1
τ λ
· γ0
1−m 1
τ λ
· γ 1−m
0 0 0
0 0
⎤
0 0 0 ⎦ (5.184)
· γ0
1−m T
· ((1 − m) · γ 1−m
T
τλ
2 0 − γ 0 ) γ
τλ
2 0
Weiterhin werden noch die Ableitungen der Steuermatrix benötigt:
⎡
⎤
0
∂B
= ⎣ 0 ⎦ und ∂B = ∂B =0 (5.185)
∂τ s
· γ
∂t d ∂τ λ a
Die Ergebnisse für die Identifikation des Luftpfades für ideale Verhältnisse ist in der Abbildung
5.16 dargestellt. In den ersten drei Diagrammen sind die Zustandsschätzwerte,
im vierten Diagramm die Residuensequenz und in den letzten beiden Diagrammen die
Parameterschätzwerte abgebildet. Es sind ideale Verhältnisse, d.h. keine Eingangs- und
Ausgangsrauschprozesse, gewählt worden.
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