Dokument 1.pdf - Universität Siegen

6 Nichtlineare Parameteridentifikationsverfahren
Falls keine Terme vorhanden sind, entfällt der zweite Summand. Bildet man nun
die partielle Ableitung im Bezug auf die Parameter, ergibt sich folgender Zusammenhang:
∣
∂f
∂ϑ m
∣∣∣x=ˆx
+
j−1
= ∂f 1[x,u j−1 ,j− 1,ϑ]
∂x
·
∣
∂x
+
∂ϑ m
∣∣∣x=ˆx ∂f 2[u j−1 ,j− 1,ϑ]
(6.11)
+ ∂ϑ m
j−1
Bildet man die Ableitung der Gleichung (6.10) im Bezug auf den Zustandsvektor
x, dann wird ersichtlich, daß ∂f = ∂f 1
ist und aus diesem Grund der Abkürzung
∂x ∂x
˜F entspricht. Vereinfacht man nun den Zusammenhang in (6.11), ergibt sich das
Ergebnis für die Ableitung ∂ˆx− j
∂ϑ m
zu:
∂f[x,u j−1 ,j− 1,ϑ]
∂ϑ m
∣
∣∣∣x=ˆx
+
j−1
= ˜F · ∂ˆx+ j−1
∂ϑ m
+ ∂f 2[u j−1 ,j− 1,ϑ]
∂ϑ m
(6.12)
b. Score-Algorithmusgleichungen
Zur Bestimmung des Score-Algorithmus müssen folgende Ableitungen bestimmt
werden:
∂ˆx − j
=
∂ϑ ˜F · ∂ˆx+ j−1
+ ∂f 2[u j−1 ,j− 1,ϑ]
(6.13)
m ∂ϑ m ∂ϑ m
∂P −
(j) = ∂ ˜F · P + (j − 1) ·
∂ϑ m ∂ϑ ˜F T
m
+ ˜F · P + (j − 1) · ∂ ˜F
∂ϑ m
T
+ ˜F · ∂P+ (j − 1)
∂ϑ m
· ˜F T + ∂GQ(j)GT
∂ϑ m
(6.14)
∂P yy
(j) =
∂ϑ ˜H · ∂P− (j) ·
m ∂ϑ ˜H T + ∂R(j)
(6.15)
m ∂ϑ m
Berechnung der Summenterme der Informationsmatrix für (6.32):
E
{s m [y(j), ˆϑ] · s n [y(j), ˆϑ]| ˆϑ=
}= 1 [
ˆϑi
2 · tr Pyy
−1 · ∂P yy
· Pyy
−1 · ∂P ]
yy
∂ϑ m ∂ϑ n
+ ∂ˆx− T
j
·
∂ϑ ˜H T · Pyy
−1 · ˜H · ∂ˆx− j
(6.16)
m ∂ϑ n
c. Anschließend auf laufende Summe aufaddieren
k∑
j=k−N+1
E
{s m [y(j), ˆϑ] · s n [y(j), ˆϑ]|
}
ˆϑ= ˆϑi
(6.17)
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