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10 Anhang
Für die Ableitung der Likelihood-Funktion aus Gleichung (10.18) nach den Parametern
θ ergibt sich folgender Zusammenhang, wenn für die partiellen Ableitungen nach den
Parametern die Beziehungen (10.24) und (10.25) verwendet werden und anschließend
eine Multiplikation mit dem Faktor -2durchgeführt wird:
∂
{
−2 · [ln f
∂ϑ x(k),Y k /θ (ξ,yk /ϑ)] = tr P + (k) −1 · ∂P+ (k)
}
m ∂ϑ m
−2 · ∂ˆx+ T
k
· P + (k) −1 · [ξ − ˆx + k
∂ϑ ]
m
−[ξ − ˆx + k ]T · P + (k) −1 · ∂P+ (k)
· P + (k) −1 · [ξ − ˆx + k
∂ϑ ]
m
k∑ {
+ tr Pyy −1 (j) · ∂P }
yy
(j)
∂ϑ
j=1
m
k∑ ∂ˆx − T
j
−2 · · C T · Pyy −1 (j) · [ζ − C · ˆx − j ]
∂ϑ
j=1 m
k∑
− [ζ − C · ˆx − j ] T · Pyy −1 (j) · ∂P yy
(j) · Pyy −1 (j) · [ζ − C · ˆx − j ] (10.23)
∂ϑ m
j=1
∂ ln |X|
∂ϑ m
=
∂ ln |X|
∂|X|
· ∂|X|
∂ϑ m
= 1
|X| · ∂|X|
∂ϑ m
∂X − 1
∂ϑ m
= −X −1 · ∂X
∂ϑ m
· X − 1
{
= tr |X| −1 · ∂|X| }
∂ϑ m
und (10.24)
(10.25)
Wird im zweiten Schritt der Maximumbestimmung der Likelihood-Funktion das Ergebnis
des ersten Schrittes der Zustandsschätzung aus Gleichung (10.21) als bekannt vorausgesetzt,
dann kann Gleichung (10.23) mit ξ =ˆx + k | ϑ=ˆθ
vereinfacht und zu folgendem
Zusammenhang zusammengefaßt werden:
{
tr P + (k) −1 · ∂P+ (k)
}
∂ϑ m
−
k∑
j=1
−2 ·
{[
tr Pyy −1 (j) − Pyy −1 (j) ·
k∑
j=1
[
y j
− C · ˆx − j
]
·
[ ] T ]
y j
− C · ˆx − j · P
−1
yy (j) · ∂P }
yy
(j)
∂ϑ m
∂ˆx − T
j
· C T · Pyy −1 (j) · [y
∂ϑ j
− C · ˆx − j ] = 0 (10.26)
m
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