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2 Mathematische Systembeschreibung
Die mathematische Systembeschreibung ist die wichtigste Grundlage für die Modellierung
des Systems. Das Ziel einer Modellierung ist es, das Systemverhalten anhand
bekannter Eingangsgrößen durch eine mathematische Systembeschreibung hinreichend
genau abzubilden und dabei die Komplexität der Beschreibung zu minimieren. Als Ergebnis
der Modellierung erhält man eine formale mathematische Beschreibung, die im
folgenden als Modell bezeichnet wird und ein Abbild des realen Systemverhaltens darstellt.
Es kann prinzipiell zwischen zwei Arten von Modellen unterschieden werden:
• Empirische Modelle, d.h. Modelle, die aus empirischen Daten oder Regeln abgeleitet
wurden,
• Physikalische Modelle, d.h. solche, die aus physikalischen Grundgesetzen abgeleitet
wurden.
Empirische Modelle können zum einen regelbasierte Modelle für Expertensysteme sein,
z.B. Fuzzy-Logic. Andererseits können diese aus empirischen Daten abgeleitet werden,
z.B. die Input-Output-Analyse des Systemverhaltens durch geeignete Testsignale. Anschließend
wird das dynamische Verhalten durch Übertragungsglieder, die z.B. D-, I-
oder P-Verhalten besitzen, genähert. Das Systemverhalten läßt sich dann auf gewöhnliche
Differentialgleichungen zurückführen.
Physikalische Modelle sind kompakte mathematische Beschreibungen des Systemverhaltens,
welche auf physikalischen Grundgesetzen beruhen, die nur wenige experimentell zu
bestimmende Parameter aufweisen. Diese Art von Modellen führt zu einer mathematischen
Beschreibung durch gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen.
Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen sind parametrische Modelle und haben
die Fähigkeit zu extrapolieren, d.h. Systemzustände vorauszusagen, die experimentell
noch nie untersucht wurden und erlauben eine systematische (modellbasierte) Synthese
von Steuerungen und Regelungen in technischen Anwendungen.
Diese Arbeit beschränkt sich auf parametrische Modelle, da estimationstheoretische Verfahren
zur Identifikation der Modellparameter untersucht werden sollen. Die folgenden
Unterkapitel werden die für diese Arbeit wichtigen Formen der deterministischen und
stochastischen mathematischen Systembeschreibungen für den linearen und nichtlinearen
Fall darstellen.
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