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10.5 Herleitung des Maximum-Likelihood Verfahrens
10.5.1 Berechnung der Likelihood-Funktion
Mit den abgeleiteten VDF in den Gleichungen (10.14) und (10.17) steht die Likelihood-
Funktion aus Gleichung (5.137) für ein Kalman-Filter als Zustandsschätzer und ein ML-
Ansatz als Parameterschätzer zur Verfügung. Da die Logarithmus-Funktion monoton
steigendes Verhalten besitzt, kann zur Bestimmung des Maximums die logarithmierte
VDF aus Gleichung (5.137) herangezogen werden.
ln f x(k),Y k /θ (ξ,yk /ϑ) =
−
n + m
2
· ln(2 · π) − 1 2 · ln(|P + (k)|) − 1 2 ·
k∑
ln(P yy )(j)
− 1 2 · [ξ − ˆx+ k ]T · P + (k) −1 · [ξ − ˆx + k ]
− 1 k∑
2 · [ζ − C(j) · ˆx − j ] T · P yy (j) · [ζ − C(j) · ˆx − j ] (10.18)
j=1
Zur Bestimmung des Maximums der Likelihood-Funktion wird die partielle Ableitung
der Funktion aus Gleichung (10.18) in eine partielle Ableitung der Zustände und eine
partielle Ableitung der Parameter zerlegt. Im ersten Schritt wird die partielle Ableitungen
zur Bestimmung des Maximums der Likelihood-Funktion nach der Variable ξ für die
Zustandsschätzung betrachtet. Dabei wird der Parametervektor θ, wie vorher festgelegt,
als konstant angenommen.
∂
∂ξ [ln f x(k),Y k /θ (ξ,yk /ϑ)]
∣ = 0 T (10.19)
ϑ=ˆθ=const, ξ=ˆx
Mit diesen Bedingungen ergibt sich für die partielle Ableitung nach ξ:
[ξ − ˆx + k ]T · P + (k)| ϑ=ˆθ, ξ=ˆx
=0 T (10.20)
ξ =ˆx + k ∣ ⇒ [ξ − ˆx + k ]| ϑ=ˆθ
=0 (10.21)
ϑ=ˆθ
In Gleichung (10.21) ist die Lösung für die Maximierung der Likelihood-Funktion im Bezug
auf die Zustandsschätzung dargestellt, wenn der Schätzwert der Parameter konstant
vorausgesetzt wird. Für die Zustandsschätzung ist für diese Bedingung der Maximum-
Likelihood Schätzwert gleich dem Kalman-Filter Schätzwert des Zustandsschätzers. Mit
diesem Ansatz läßt sich der Maximum-Likelihood Schätzwert für die Zustandsschätzung
mit einem Kalman-Filter bestimmen. Im zweiten Schritt werden die partiellen Ableitungen
nach dem Parametervektor ϑ vorgenommen, um das Maximum der Likelihood-
Funktion zu bestimmen.
∂
∂ϑ [ln f x(k),Y k /θ (ξ,yk /ϑ)]
∣ = 0 T (10.22)
ϑ=ˆθ, ξ=ˆx
+
k
j=1
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