Dokument 1.pdf - Universität Siegen

4.1 Ausgangssensitivitätsanalyse
4.1.2 Luftpfad
Für den Luftpfad sind die unbekannten Parameter γ s , γ 0 , γ 1 und γ 2 . Daraus ergibt sich
der Parametervektor θ und der Parametervektor q der Übertragungsfunktion zu:
θ =[γ s γ 0 γ 1 γ 2 ] T und q =[a 1 a 2 b 3 b 4 ] T (4.31)
Die abgeleitete Übertragungsfunktion des Luftpfads in Gleichung (4.13) besitzt nur vier
Koeffizienten, die nicht von Null verschieden sind. Daher muß die Sensitivitätsmatrix
vom Rang 4 sein. Die Matrix ∂h ist quadratisch und darf nicht singulär werden, um
∂θ
das Kriterium zu erfüllen. Für die Analyse wird die Sensitivitätsmatrix in zwei Anteile
zerlegt.
S = ∂h 2n
∂θ
= ∂h
∂q · ∂q
∂θ
Damit S vollen Rang besitzt, müssen beide Anteile ∂h
∂q
und
∂q
∂θ
(4.32)
vollen Rang besitzen. Mit
dem Zusammenhang aus Gleichung (4.3) ergeben sich die Markov-Parameter für den
Luftpfad:
h 3 = b 3 (4.33)
h 4 = b 4 − a 1 · h 3 (4.34)
h 5 = −a 1 · h 4 − a 2 · h 3 (4.35)
h 6 = −a 1 · h 5 − a 2 · h 4 (4.36)
In der äquivalenten Vektordarstellung ergibt sich:
h = M · q (4.37)
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤
h 3 0 0 1 0 a 1
⎢ h 4
⎥
⎣ h 5
⎦ = ⎢ −h 3 0 0 1
⎥ ⎢ a 2
⎥
⎣ −h 4 −h 3 0 0⎦
⎣ b 3
⎦ (4.38)
h 6 −h 5 −h 4 0 0 b 4
Für die partielle Ableitung nach q ergibt sich für den ersten Term in Gleichung (4.32):
∂h
∂q = M (4.39)
Damit ∂h nicht singulär wird, muß die Determinante von M ≠0sein. Für die Determinante
ergibt sich dann folgender
∂q
Zusammenhang:
|M| = h 2 4 − h 3 · h 5 = b 2 4 − a 1 · b 3 · b 4 + a 2 · b 2 3 (4.40)
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