Dokument 1.pdf - Universität Siegen

4 Identifizierbarkeit
4.1 Ausgangssensitivitätsanalyse
Für die Darstellung der Ausgangssensitivitätsanalyse wird in einem ersten Schritt der
Zusammenhang für die Markov-Parameter eingeführt. Anschließend wird die Sensitivitätsanalyse
betrachtet.
Eine Möglichkeit, die Markov-Parameter h i zu bestimmen, ist die Aufstellung der Übertragungsfunktion
des LTI-Systems.
H(z) = b 0 + b 1 · z −1 + b 2 · z −1 + ...+ b n · z −n
(4.1)
1+a 1 · z −1 + a 2 · z −2 + ...+ a n · z −n
= h 0 + h 1 · z −1 + h 2 · z −2 + ···+ h n · z −n (4.2)
Durch Multiplikation der beiden Gleichungen (4.1) und (4.2) mit dem Nenner von Gleichung
(4.1) und anschließendem Koeffizientenvergleich im Bezug auf die Potenzen von
z −1 findet man die Gleichungen für die Markov-Parameter h i :
h 0 = b 0
h 1 = b 1 − a 1 · h 0
h 2 = b 2 − a 1 · h 1 − a 2 · h 0
. (4.3)
h n = b n − a 1 · h n−1 −···−a n · h 0
h n+1 = −a 1 · h n −···−a n · h 1 (4.4)
Die Ausgangssensitivitätsanalyse ist ein Verfahren, das die Identifizierbarkeit der Parameter
in der Form von Ausgangssensitivitäten definiert. Das bedeutet, daß unter der
Annahme eines nominalen Parametervektors θ 0 Parameteränderungen Ausgangssignale
erzeugen, die sich vom nominalen Ausgangssignal unterscheiden. Dieser Zusammenhang
läßt sich für die Parametervariation θ 1 folgendermaßen darstellen:
y(θ 1 ) ≠ y(θ 0 ) (4.5)
Die Beschreibung der diskreten Sprungantwort des nominalen Parametervektors kann
durch die Zusammenfassung der Markov-Parameter in einem Vektor realisiert werden.
h(θ 0 )=[h 0 (θ 0 ) h 1 (θ 0 ) ···h n+1 (θ 0 )] (4.6)
Die Abweichung von der nominalen Sprungantwort kann durch folgende lineare Approximation
erster Ordnung dargestellt werden:
h(θ) − h(θ 0 ) ≈ ∂h
∣ · ∆θ mit ∆θ = θ − θ
∂θ
0 (4.7)
θ0
Die Gleichung (4.7) kann so gedeutet werden, daß alle von null verschiedenen Abweichungen
des Parametervektors ∆θ bemerkbare Änderungen des Ausgangsverhaltens garantieren,
wenn die Sensitivitätsmatrix nicht dem Nullvektor entspricht.
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