Dokument 1.pdf - Universität Siegen

4.1 Ausgangssensitivitätsanalyse
Diese Tatsache führt zu folgendem Kriterium, daß von Grewal und Glover in [9] angegeben
wurde:
Die unbekannten Parameter in Verbindung mit dem zugehörigen
Ein-/Ausgangspaaren in einem LTI-System n-ter Ordnung sind lokal
identifizierbar, wenn die Sensitivitätsmatrix S vollen Rang besitzt.
S ≡ ∂h 2n
∂θ
mit der Dimension (2n + 1) × n θ
Das Kriterium von Grewal und Glover benötigt die Auswertung der ersten 2n+1 Markov-
Parameter. Der Grund ist, daß ein System n-ter Ordnung genau 2n + 1 Koeffizienten
b 0 ···b n ,a 1 ···a n enthält.
Bei nichtlinearen Systemen kann eine Linearisierung um den Arbeitspunkt durchgeführt
werden. Anschließend untersucht man das Kriterium für das erhaltene LTI-System.
4.1.1 Linearisierung des Gesamtmodells
Das in Kapitel 3.6.3 hergeleitete nichtlineare Gesamtmodell kann nun um das aktuelle
Lambda linearisiert werden. Zur Anwendung der Identifizierbarkeit muß eine Linearisierung
des nichtlinearen Zusammenhangs aus Gleichung 3.100 durchgeführt werden.
λ zyl (k) = t inj luft zyl(k)
t inj kraft zyl (k)
(4.8)
Dies führt zu folgendem Zusammenhang mit der Anwendung des totalen Differentials:
λ zyl (k) ≈ λ zyl (k − 1) +
+
∂λ
∣
zyl ∣∣λzyl
· ∆t inj luft zyl (k)
∂t inj luft zyl (k−1)
∂λ
∣
zyl ∣∣λzyl
· ∆t inj kraft zyl (k) (4.9)
∂t inj kraft zyl (k−1)
Setzt man nun die partiellen Ableitungen des nichtlinearen Zusammenhangs ein, ergibt
sich der folgende Zusammenhang für das linearisierte Gesamtmodell:
λ zyl (k) = λ zyl (k − 1) +
1
t inj kraft zyl (k − 1) · ∆t inj luft zyl(k)
− t inj luft zyl(k − 1)
t inj kraft zyl (k − 1) 2 · ∆t inj kraft zyl(k) (4.10)
mit ∆t inj luft zyl (k) =t inj luft zyl (k) − t inj luft zyl (k − 1) (4.11)
∆t inj kraft zyl (k) =t inj kraft zyl (k) − t inj kraft zyl (k − 1) (4.12)
Mit der dargestellten Linearisierung ist es möglich, das Gesamtmodell der dynamischen
Gemischbildung in zwei unabhängige Pfade, den Luft- sowie den Kraftstoffpfad, aufzuteilen.
Dadurch können die linearen Anteile für die Sensitivitätsanalyse getrennt betrachtet
werden.
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