Dokument 1.pdf - Universität Siegen

5.2 Parameter- und Zustandsschätzung
Die dargestellten Filtergleichungen entsprechen einem nichtlinearen zeitdiskreten
Kalman-Filter mit einer Approximation erster Ordnung, d.h. die Taylorreihe in Gleichung
(5.105) wurde nach dem ersten Glied abgebrochen. Filter höherer Ordnung sind
denkbar, allerdings steigt der Berechnungsaufwand erheblich und das Konvergenzverhalten
wird schlechter. Aus diesen Gründen werden in dieser Arbeit Filter höherer Ordnung
nicht betrachtet.
Kontinuierliche Modelldarstellung
Die Besonderheit des Extended Kalman-Filters für eine kontinuierliche Modelldarstellung
ist, daß das Zustandsraummodell im Gegensatz zur zeitdiskreten Darstellung kontinuierlich
vorliegt. Der Grund für eine zeitkontinuierliche Beschreibung liegt daran, daß
für nichtlineare Differentialgleichungen keine analytischen homogenen Lösungen zu finden
sind und somit eine Transformation in eine zeitdiskrete Beschreibung nicht möglich
ist. Das Beobachtungsmodell liegt wie beim vorherigen Unterpunkt zeitdiskret vor. Daraus
ergibt sich die folgende nichtlineare stochastische Zustandsraumdarstellung mit den
in Kapitel 2.2.1 abgeleiteten Eigenschaften der weißen Rauschprozesse w und v. Der
Zustandsvektor x ist der um die unsicheren Parameter erweiterte Vektor x a aus (5.99):
ẋ(t) = f[x(t),u(t),t]+G(t) · w(t) (5.123)
y(t i ) = h[x(t i ),t i ]+v(t i ) (5.124)
Die Funktion f ist eine nichtlineare vektorielle Funktion in Abhängigkeit der Zeit t, dem
Eingangsvektor u(t) und den Zustandsgrößen x(t). Hierin sind das Driving-Noise w(t)
und das Measurement-Noise v(t i ) unkorellierte mittelwertfreie weiße Gaußprozesse, wie
in Kapitel 2.2.1 dargestellt. Für den kontinuierlichen Fall müssen die Prädiktionsfehlerkovarianz
und der Prädiktionsschätzwert neu bestimmt werden. Die Prädiktion wird als
formale Integration über den linearisierten Arbeitspunkt folgendermaßen ermittelt:
∫ ti+1
ˆx − (t i+1 ) = f[ˆx(t/t i ),u(t),t]dt + x(t i ) mit x(t i )=ˆx + (t i ) (5.125)
t i
Die Bestimmung der Prädiktionsfehlerkovarianz wird durch die formale Integration im
linearisierten Arbeitspunkt realisiert:
P − (t i+1 ) =
∫ ti+1
t i
˙ P (t/t i ) · dt + P (t i ) mit P (t i )= ˆP + (t i ) (5.126)
Das in der Gleichung (5.126) enthaltene Differential P ˙ (t/t i ) berechnet sich durch:
P ˙ (t/t i )= ˜F (t, ˆx(t/t i )) · P (t/t i )+P (t/t i ) · ˜F (t, ˆx(t/t i )) T + G · Q(t) · G T (5.127)
Die Matrix ˜F stellt eine Linearisierung der Funktion f um einen Arbeitspunkt dar und
wird nach folgender Vorschrift bestimmt:
˜F (t, ˆx(t/t i )) = ∂f[x(t),u(t),t]
∣ (5.128)
∂x x(t)=ˆx + (t/t i )
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