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5.2 Parameter- und Zustandsschätzung
Zur Bestimmung der Prädiktion sowie der Prädiktionsfehlerkovarianz im Time-Update
werden die folgenden bedingten Erwartungswerte in der Gleichung (5.100) gebildet:
E { x(k)/Y k−1} { [x(k)
und E − ˆx − (k) ] · [x(k)
− ˆx − (k) ] T
/Y
k−1}
Daraus ergibt sich der Prädiktionsschätzwert und die Prädiktionsfehlerkovarianz:
ˆx − (k) = E { f[x(k − 1),u(k − 1),k− 1]/Y k−1} +E { w(k − 1)/Y k−1} (5.103)
{ [x(k)
P − (k) = E − ˆx − (k) ]
· [x(k)
− ˆx − (k) ] }
T
/Y
k−1
(5.104)
} {{ }
=e − (k)
Der zweite Term in Gleichung (5.103) ist aufgrund der Unkorreliertheit des Driving-
Noise Prozesses sowie der Mittelwertfreiheit des weißen Gaußprozesses null. Zur Lösung
der Erwartungswertbildung des ersten Terms in Gleichung (5.103) führt man nun eine
Taylorreihenapproximation des nichtlinearen Zustandsraummodells um die Nominaltrajektorie
der Filterschätzwerte ˆx + k−1 durch. Das führt dann auf folgenden Zusammenhang:
∣
f[x k−1 ,u k−1 ,k− 1] = f[x,u k−1 ,k− 1]
∣
x=ˆx
+
k−1
mit ˜F =
∂f[x,u k−1 ,k− 1]
∂x
∣
+ ˜F · [x k−1 − ˆx + k−1 ]+··· (5.105)
∣
x=ˆx
+
k−1
(5.106)
Wird die Taylorreihenentwicklung nach dem zweiten Term abgebrochen und der bedingte
Erwartungswert gebildet, dann ergibt sich mit Gleichung (5.103):
ˆx − (k) := E { f[x k−1 ,u k−1 ,k− 1]/Y k−1}
∣
= f(x,u k−1 ,k− 1)
∣
x=ˆx
+
k−1
+ ˜F · E{x k−1 − ˆx + k−1 }
} {{ }
=0
(5.107)
Dabei verschwindet der zweite Term aufgrund der Erwartungswerttreue des Minimal-
Varianz-Schätzwerts. So erhält man für den Prädiktionsschätzwert die folgende Form:
ˆx − ∣
(k) =f[x,u k−1 ,k− 1]
(5.108)
∣
x=ˆx
+
k−1
Wird der Prädiktionsfehler e − aus Gleichung (5.104) mit dem Prädiktionsschätzwert aus
(5.108) und dem Zusammenhang für x(k) aus (5.100) berechnet, ergibt sich:
e − (k) = x(k) − ˆx − (k)
∣
= f[x k−1 ,u k−1 ,k− 1] + G · w k−1 − f[x,u k−1 ,k− 1]
∣
x=ˆx
+
k−1
(5.109)
Wird nun die Taylorreihenentwicklung aus Gleichung (5.105) bis zum zweiten Term als
Näherung für den ersten Term in Gleichung (5.109) eingesetzt, dann ergibt sich:
e − (k) ≈ ˜F · [x k−1 − ˆx + k−1 ]+G · w k−1 = ˜F · e + k−1 + G · w k−1 (5.110)
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