Dokument 1.pdf - Universität Siegen

2.2 Stochastische Modelldarstellung
2.2.1 Systemmodelle mit weißen Rauschprozessen
Ausgangspunkt ist die Darstellung eines realen Systems mit dem Modell in der Abbildung
2.1. Dabei ist der Eingangsgröße u des Systems die Störgröße w und der Ausgangsgröße
y m
des Modells die Störgröße v überlagert.
Hierin ist die auftretende Störgröße w eine zusätzlich treibende Kraft am Eingang und
kann als Eingangsrauschen (Driving-Noise) aufgefaßt werden. Die Störgröße v ist als
Ausgangsrauschprozeß dem Modellausgang y m überlagert und kann als Meßrauschen
(Measurement-Noise) bezeichnet werden. Dabei sind nur die Eingangs- sowie Ausgangsgrößen
u und y des Systems meßtechnisch erfaßbar.
Das Modell des Systemverhaltens mit der Eingangsgröße u m und der Ausgangsgröße y m
kann mit den Beziehungen (2.3)-(2.11) für den linearen und mit (2.16)-(2.21) für den
nichtlinearen Fall beschrieben werden. Die auftretenden Rauschprozesse können durch
mittelwertfreie weiße gaußverteilte Rauschprozesse modelliert werden, die durch ihre ersten
beiden Momente bestimmt sind.
DN
MN
Kontinuierlicher Fall
E {w(t)} =0 (2.22)
E { w(t) · w(τ) T} = Q(t) · δ(t − τ) (2.23)
E {v(t)} =0 (2.26)
E { v(t) · v(τ) T} = R(t) · δ(t − τ) (2.27)
Zeitdiskreter Fall
E {w(k)} =0 (2.24)
E { w(k) · w(k) T} = Q (2.25)
E {v(k)} =0 (2.28)
E { v(k) · v(k) T} = R (2.29)
DN ˆ= Driving-Noise, MN ˆ= Measurement-Noise
Tabelle 2.3: Modellbeschreibung der Eingangs- und Ausgangsrauschprozesse
Führt man diese beiden Größen in die Zustandsraummodellierungen ein, ergeben sich
die stochastischen Beschreibungen im Zustandsraum für den linearen Fall.
Kontinuierlicher Fall
Zeitdiskreter Fall
dx(t) =[F · x(t)+B · u(t)]dt + G · dβ(t)(2.30) x(k) =A · x k−1 + B · u k−1 + w k−1 (2.32)
y(t) =C · x(t)+v(t) (2.31) y(k) =C · x k + v k (2.33)
Tabelle 2.4: Lineare stochastische Zustandsraumdarstellung
Entsprechend kann auch eine Darstellung für nichtlineare Zustandsraumbeschreibungen
mit stochastischen Störgrößen für den kontinuierlichen und den zeitdiskreten Fall abgeleitet
werden.
Kontinuierlicher Fall
Zeitdiskreter Fall
dx(t) =f[x(t),u(t)] · dt +dβ(t) (2.34) x(k) =f[x k−1 , ···,x k−n ,u k , ···,u k−m ]+w k (2.36)
y(t) =h[x(t)] + v(t) (2.35) y(k) =h[x k ]+v k (2.37)
Tabelle 2.5: Nichtlineare stochastische Zustandsraumdarstellung
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