Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

oder annehmen, um überhaupt etwas tun zu können. So geschieht es auch in den Laws of
Form. Hier jedoch durch die Anweisung, eine Unterscheidung zu treffen.
Die Kalkulation des Indikationenkalküls wird in Gang gesetzt mit der Aufforderung: „Triff eine
Unterscheidung!“ Das Fundament der Kalku¬lation sind dann zwei einfache Axiome, die aus
den Ideen der Unterschei¬dung und Anzeige folgen. Aus oder mit diesen Axiomen können
kompli¬ziertere Ausdrücke entwickelt werden, an denen dann Regelmäßigkeiten entdecken
werden können, die so genannten Konsequenzen und Theoreme. Die Konsequenzen lassen
sich unterscheiden in jene, die keine Variablen enthalten (Arithmetik), und jene, die
Zusammenhänge auch zwischen variablen Ausdrücken herstellen (Algebra).
Die Gesetzmäßigkeiten, die sich aus den beiden Axiomen ergeben, werden in den Laws of
Form zunächst so weit entfaltet, bis sich die Vollständigkeit und die Widerspruchsfreiheit des
Indikationenkalküls beweisen lassen. Dann findet ein Übergang zu unendlich langen
Aus¬drücken statt, der die eigentliche Neuerung für die mathematische Theorie darstellt.
Solche Ausdrücke können durch Selbstbezüglichkeit formalisiert werden und wir erhalten
darüber ein neues (in der numerischen Mathe¬matik allerdings alt bekanntes) Kriterium,
nach dem Ausdrücke unter¬schieden werden können: der Grad einer Gleichung, ihr Grad an
Unbestimmtheit. Die bis dahin in der Primären Arithmetik und Algebra betrachteten
Gleichungen ersten Grades lassen sich stets bestimmen, da sie immer eindeutig entweder
auf den angezeigten oder unangezeigten Zustand zurückführbar sind. Sie gestatten keine
Unbestimmtheit. Aufgrund der Einfachheit des Indikationenkalküls ist es jedoch auch
möglich, Selbst-bezüglichkeit formal darzustellen und zu erkennen, dass Gleichungen
hinsichtlich ihres Grades an Unbestimmtheit nicht beschränkt sind. Gleichungen zweiten
Grades, mit denen dargestellt werden kann, dass ein Ausdruck in sich selbst auftritt, können
im Wert oszillieren. Im Abschnitt I. 4. „Gleichungen zweiten Grades“ werden wir sehen,
wodurch imaginäre, das heißt oszillierende Werte entstehen, warum sie notwendig sind und
wie sie dargestellt werden können. Das führt uns dann zur Form der Paradoxie.
Das Besondere am Indikationenkalkül ist, dass er zum einen anweisend (praktisch) statt
annehmend (ontologisch) ist und zudem so allgemein und einfach beginnt, dass das
mathematische Gebäude, das sich aus den Annahmen entfaltet, die Möglichkeit bereitstellt,
den eigenen Anfang zu reflektieren. Das geschieht im 12. Kapitel der Laws of Form auf der
formalen Grundlage aus dem 11. Kapitel: Selbstbezüglichkeit. Mit der „experimentellen
Reflexion“ über den eigenen Anfang beschließt George Spencer Brown seine Darstellung
und vollzieht den re-entry des Kalküls in seine eigenen Bedingungen – und die Bedeutung
des Unterscheiders, des Beobachters kommt zum Vorschein.
II. In der vorliegenden Einführung folgt nach dem darstellenden Nachvollzug des
Indikationenkalküls ein weiterer mathematischer Teil zur Form der Paradoxie. Dort wird der
Versuch unternommen, Licht ins Dunkel der Grundlagen der Mathematik zu bringen, indem
die Mathematik von ihren logischen Beschränkungen befreit wird. Anhand einiger
beispiel¬hafter Paradoxien wird die allgemeine Form von Paradoxien dargestellt, sowie ihre
Bedeutung und Notwendigkeit für die mathematische Theorie erörtert. Dabei zeigt sich, dass
die Laws of Form das Problem lösen, das Auslöser der Grundlagenkrise der Mathematik war
und ist, nämlich das Problem der Paradoxie, weil der Indikationenkalkül ein tragfähiger und
neuartiger, weil Selbstbezüglichkeit einschließender Kalkül ist.
III. Die Mathematik der Laws of Form stellt jedoch nur die „äußere Form“ des Textes dar.
Mit den Laws of Form wird auch etwas gänzlich Unmathematisches zum Ausdruck gebracht.
Betrachtet man die Laws of Form aus rein mathematischer Perspektive, bekommt man nicht
in den Blick, wofür die Laws of Form exemplarisch stehen, was es ist, das hier in der
Sprache der Mathematik formuliert wird. Wir nähern uns dem im dritten Teil, in dem eine
formtheoretische Erkenntnistheorie entwickelt wird.
Eine im weitesten Sinne philosophische Dimension erhalten die Laws of Form durch die
anfängliche Interpretation des cross als Unterscheidung und die finale Entdeckung des
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