Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

3. Primäre Arithmetik und Primäre Algebra
Mit dem vierten Kapitel der Laws of Form beginnt der im eigentlichen Sinne mathematische,
kalkulierende Teil des Indikationenkalküls. Das Vorhergehende war und ist notwendig als
Vereinbarung über die Grund¬lagen; aber die berechnende Tätigkeit ist das Auffinden von
Gesetzmäßig¬keiten oder allgemeinen Mustern, wie George Spencer Brown es nennt. Mit
der Setzung der beiden Initiale wird dieser Prozess in Gang gesetzt. Die Anwesenheit und
die Abwesenheit der Markierung, der marked state und der unmarked state, sind die
Konstanten der Kalkulation der Primären Arithmetik. Auf Grundlage der Konstanten wird es
dann möglich, auch allgemeine Regeln oder Muster zu finden, die unabhängig davon sind,
welchen Zustand bestimmte Teile eines Ausdruckes darstellen. Über die damit
einhergehende Einführung von Variablen wird die Primäre Algebra begründet. Sie wird so
weit dargestellt – in Form von Konsequenzen und Theoremen –, bis erkennbar und
beweisbar wird, dass der Indikationen¬kalkül sowohl vollständig als auch unabhängig ist.
4. Kapitel: Die Primäre Arithmetik
Die Primäre Arithmetik
Der Ausgangspunkt der Kalkulation bzw. der Einstieg in die primäre Arithmetik sind die
Initiale. Zunächst hatten wir die Gesetze des Nennens und Kreuzens gefunden, aus denen
die Axiome gewonnen wurden. Der Begriff „Initial“ kennzeichnet den Einstieg in die
Berechnungen; „Zahl“ und „Ordnung“ sind die Namen der Initiale. I1 und I2 sind auch
Namen: Abkürzungen, die in den Demonstrationen und Beweisen im Folgenden verwendet
werden, um kurz und präzise angeben zu können, worauf man sich bezieht.
Initial 1 (Zahl) I1: =
Initial 2 (Ordnung) I2: =
Das erste Initial erlaubt Änderungen in der Anzahl der Markierungen, die nebeneinander
stehen, weshalb es mit „Zahl“ bezeichnet wird. Das zweite Initial beschreibt, dass ineinander
geschriebene Markierungen aufgehoben bzw. eingeführt werden können. Mit ihm können
Markierungen eliminiert bzw. hervorgebracht – also Ebenen gestrichen und eingesetzt –
werden, weshalb es „Ordnung“ genannt wird. Alle Kalkulationen des Indikationen¬kalküls
basieren auf diesen Initialen, und der Kalkül wird entwickelt, indem allgemeine Muster der
Kalkulation gefunden und unterschieden werden.
Da wir die Richtung, in der ein Äquivalenzzeichen gelesen werden kann, unterschieden
hatten, beschreiben die Initiale jeweils zwei Rechen¬operationen: Man kann zwei
nebeneinander geschriebene crosses zu einem kondensieren bzw. ein cross bestätigen, so
dass zwei nebeneinander geschrieben werden; und man kann zwei ineinander geschriebene
crosses aufheben bzw. den unmarkierten Zustand mit zwei crosses kompensieren, so dass
zwei ineinander geschriebene crosses erscheinen. Auf diesen vier Formen kann der
Indikationenkalkül aufgebaut werden.
Das erste Ziel wird es sein zu zeigen, dass wir jedes Arrangement als Ausdruck verstehen
können (Theorem 1) und dass jeder Ausdruck ein¬deutig entweder den markierten oder den
unmarkierten Zustand anzeigt (Theorem 3). Damit ist der Kalkül dann konsistent,
verwechselt also die Seiten der grundlegenden Unterscheidung (markiert/unmarkiert) nicht.
Das heißt, der Indikationenkalkül führt nicht zu Widersprüchen.
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