Die Form der Paradoxie - Uboeschenstein.ch

prominenteste Beispiel konstruierte Bertrand Russell mit seinem Mentor Alfred North
Whitehead in den Principia Mathematica eine Theorie, die auf der Mengenlehre und einer
Hierarchie logischer Klassen basiert. Damit konnten sie das Verbot einführen, nach dem eine
Menge kein Element enthalten dürfe, das vom gleichen Typ wie die Menge selbst ist: Auf
diese Weise wurden Mengen ausgeschlossen, die sich selbst enthalten, und mithin auch die
Russellsche und ähnliche Paradoxien.
Diese in den Principia Mathematica ausgearbeitete so genannte „Theorie der Typen“, die
Aussagen, Aussageverknüpfungen und Aussagefunktionen in eine bestimmte Stufenfolge
stellt, und darüber hinaus die Aussage¬verknüpfungen nach „Typen“ unterscheidet, schien
zunächst die Eliminie¬rung jeder Möglichkeit von Paradoxien aus formalen Systemen zu
leisten. Tatsächlich ist es irreführend, von „leisten“ zu sprechen, da die Typen¬theorie
lediglich ein Verbot ausspricht, logische Ebenen (anschaulich zum Beispiel Objekt, Menge
von Objekten, Mengen von Mengen usw.) zu verwechseln. Es wird in den Principia
Mathematica eine Regel aufgestellt, die bestimmte unliebsame Aussagen aus der
Mathematik und der Logik verbannt. Diese Regel wird dem Kalkül hinzugefügt, ohne dass sie
sich rechtfertigen ließe – außer im Hinblick auf ihren Erfolg, etwas Un- oder
Missverstandenes zu unterdrücken.
In seiner Autobiografie bekennt Bertrand Russell rückblickend seine Unzufriedenheit mit
seiner Typentheorie und anderen verwandten Versuchen, da sie den Ansprüchen an eine
elegante Theorie nicht genügen (vgl. RUSSELL 1967: 232). Wie im Anhang der Laws of
Form geschildert, hat er George Spencer Brown zu seinem Kalkül sogar gratuliert (siehe
SPENCER BROWN 1997: 127f.). Denn das Verbot ist nur ein Vehikel, das außerhalb des
Systems steht und das aus der Theorie nicht begründet werden kann. Neben dieser
ästhetisch-theoretischen Unzulänglichkeit ist vor allem der Verlust der Fähigkeit,
Selbstbezüglichkeit darzustellen, gerade heutzutage niederschmetternd. Nähmen wir die
Typentheorie konsequent ernst, so dürften wir beispielsweise nicht über Sprache sprechen;
und auch der Gebrauch komplexer Zahlen, die in vielen Zweigen der Mathematik
unverzichtbar sind, müsste, streng genommen, untersagt werden, wie wir unten ausführen
(siehe II. 2. „Imaginärer Wert und komplexe Zahlen“, S. 129ff.). Es ist offenkundig, dass
unsere Welt ohne Selbstbezüglichkeit unvorstellbar ist, nicht zuletzt vor dem Hintergrund
diverser Forschungsansätze und -ergebnisse aus den letzten Jahrzehnten.
Im Jahre 1931 veröffentlichte Kurt Gödel seine bedeutenden Unvollstän-digkeitssätze , nach
denen alle widerspruchsfreien axiomatischen Formu¬lierungen der Zahlentheorie (sprich:
Kalküle, die komplex genug sind, um Zahlen zu produzieren) unentscheidbare Aussagen
enthalten müssen. Oder umgekehrt formuliert: Jedes axiomatische System kann nur dann
alle wahren Aussagen (Vollständigkeit) der Zahlentheorie produzieren, wenn es auch
widersprüchliche (mit der hier entwickelten Wortverwendung genauer: paradoxe) Aussagen
hervorbringt. Indem er zeigte, dass sich in jedem solchen formalen System wahre Aussagen
niederschreiben und in zahlentheoretische Formulierungen umwandeln lassen, die nicht
abgeleitet – also nicht bewiesen – werden können, entdeckte er, dass die Principia
Mathematica (und verwandte Systeme) unvollständig sein müssen.
Ganz knapp kann man die Unvollständigkeitssätze zusammenfassen mit der Formulierung:
Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.
Die Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel machen deutlich, dass mathematische Systeme,
die genügend kompliziert sind, sich auf sich selbst beziehen können, indem die Sätze
Aussagen über sich selbst machen. Mit dieser Selbstbezüglichkeit können paradoxe
Strukturen erzeugt werden. Die Laws of Form integrieren diese Strukturen. Sie stehen nicht
im Wider¬spruch zu Kurt Gödels Einsichten, sondern bestätigen sie.
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